Algebra Lineal

En los ejercicios 40-43, ¿para qué valor(es) de k, si hay alguno, los sistemas tendrán (a) ninguna solución, (b) una solución única y (c) un número infinito de soluciones?

41. x + ky+ z = 0

12x - 3y - 2z = 1

x - 2y+ z = 0

Cambiamos, en primer lugar, el orden de las ecuaciones y de las incógnitas y nos queda el sistema equivalente:

x z y

x + z - 2y = 0

12x -2z - 3y = 2

x - z +ky = 0

La matriz aplicada del sistema es:

[■(1&1&-2@12&-2&-3@1&-1&k) ■(0@2@0)] R_2-12R_1 [■(1&1&-2@0&-14&21@1&-1&k) ■(0@2@0)] R_3-R_1 [■(1&1&-2@0&-14&21@0&-2&k+2) ■(0@2@0)] R_2/(-7)[■(1&1&-2@0&2&-3@0&-2&k+2) ■(0@-2/7@0)]

R_3+R_1 [■(1&1&-2@0&2&-3@0&0&k-1) ■(0@-2/7@-2/7)]

x + z - 2y = 0

Luego nos queda: 2z - 3y = -2/7

(k-1)y = -2/7

Si k =1, nos quedaría 0.y =-2/7, con lo que el sistema sería incompatible

Si k ¹1, y se puede despejar con lo que el sistema es compatible determinado.

43. x + y + kz = 1

x + ky + z = 1

kx + y + z =-2

Solución:

[■(A &B)] = [■(1&1&k@1&k&1@k&1&1) ■(1@1@-2)] R_2-->R_2-R_1 [■(1&1&k@0&k-1&1-k@k&1&1) ■(1@0@-2)]

R_3-->R_3-kR_1 [■(1&1&k@0&k-1&1-k@0&1-k&1-k^2 ) ■(1@0@-2-k)] R_3-->R_3-R_2 [■(1&1&k@0&k-1&1-k@0&0&(1-k)(2+k)) ■(1@0@-2-k)]

Si k = -2 rango ([■(A &b)]) = 3 ≠ 2 = rango(A). Por lo tanto el sistema no tiene solución si k = -2

Si k = 1 rango ([■(A &b)]) = rango (A) < 3. Por lo tanto el sistema no tiene solución si k = 1

Si k ≠1,-2 rango ([■(A &b)]) = rango(A) =3. Por lo tanto el sistema no tiene solución si k ≠1,-2

En los ejercicios 45 y 46, encuentre la recta de intersección de los planos dados.

45. x - 5y - 8z = 10 y - x – 3y - 7z = 9

Nota:

Este ejercicio lo resolví por dos métodos.

Primer método.

x - 5y - 8z = 10 (1)

- x – 3y - 7z = 9 (2)

(Ecuación 1) + - 3 + (Ecuación 2) * 5

-8x -11z = 15 ----> x=((15 +11z))/(-8)

(Ecuación 1) * - 7 + (Ecuación 2) * 8

-15x -11y = 2 ----> x=((2 -11y ))/(-15)

Segundo Método método.

Primero, observe que habrá una recta de intersección, pues los vectores normales de los dos planos,

[1, -5,-8] y [-1, -3, -7], no son paralelos. Los puntos que yacen en la intersección de los dos planos corresponden a los puntos en el conjunto solución del sistema.

x - 5y - 8z = 10

-x - 3y - 7z = 9

Aplicar la eliminación de Gauss-Jordan a la matriz aumentada produce

[■(1&-5&-8@-1&-3&-7) ■(10@9)] R_2-->1R_1 [■(1&-5&-8@0&-8&-15) ■(10@19)] R_2-->R_2/-8[■(1&-5&-8@0&1&15/8) ■(10@-19/8)]

R_1-->5R_2 [■(1&0&11/8@0&1&15/8) ■(15/8@-19/8)]

Al sustituir variables se tiene

x + 11/8z = 15/8

y - 15/8z = -19/8

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