Algebra Lineal

Algebra Lineal II: Grupos y campos.

Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

1. Grupos.

Definici´on de grupos. Un Grupo, G, es un conjunto G con una operaci´on, que puede llamarse adici´on, +, o multiplicaci´on, ·, tal que se satisfacen las siguientes propiedades, conocidas como axiomas:

1. Clausura respecto a la operaci´on. Para cada pareja de elementos g1,g2 ∈ G existe un u´nico elemento g3 ∈ G tal que

+ : G × G → G g1 + g2 = g3, ∀g1,g2 ∈ G.

2. La operaci´on es asociativa.

g1 + (g2 + g3) = (g1 + g2) + g3 ∀g1,g2,g3 ∈ G.

3. Existencia de un id´entico. Existe un elemento 0 ∈ G tal que

g1 + 0 = g1 = 0 + g1 ∀ g1 ∈ G.

4. Existencia de un inverso. Para todo g1 ∈ G, existe un elemento (−g1) ∈ G, tal que

g1 + (−g1) = 0 = (−g1) + g1.

Si se emplea el s´ımbolo +, el grupo, el elemento id´entico y el inverso se califican como aditivos, si se usa el s´ımbolo ·, el grupo, el elemento id´entico y el inverso se califican como multiplicativos.

Definici´on de grupos conmutativos o abelianos. Un grupo G se dice que es conmutativo o abeliano si g1 + g2 = g2 + g1 ∀g1,g2 ∈ G. Es decir, si la operaci´on es conmutativa.

Ejemplos de grupos. Existen muchos ejemplos de grupos:

1. Los nu´meros enteros, I, definidos como

I = {··· ,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,···},

junto con la operaci´on usual de adici´on forman un grupo aditivo, denominado I; mas au´n, el grupo es abeliano. Sin embargo, los nu´meros naturales N, definidos como

N = 0,1,2,3,4,5,···

junto con la operaci´on de adici´on no forman un grupo. Pues cualquier nu´mero natural diferente de 0 carece de un inverso respecto a la adici´on.

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2. Los nu´meros racionales excluyendo el cero, denotado como Q\0, definido como Q\0 =½x | x = p q , donde p,q ∈ I y q 6= 0,p 6= 0¾,

junto con la operaci´on usual de multiplicaci´on forman un grupo multiplicativo, denominado Q\0; mas au´n, el grupo es abeliano.1 Sin embargo, los nu´meros enteros, I , junto con la operaci´on usual de multiplicaci´on no forman un grupo, pues cualquier entero diferente de 1 carece de un inverso respecto a la multiplicaci´on.

Teoremas acerca de grupos. Los siguientes resultados son v´alidos para todo grupo.

1. El id´entico, 0, de un grupo es u´nico.

2. Si g,g∗ ∈ G satisfacen que

g + g∗ = 0, entonces g∗ + g = 0.

Adem´as, para cada g ∈ G el inverso (−g) es u´nico.

3. Para cualesquiera dos elementos g1,g2 ∈ G existe un u´nico elemento g0 ∈ G tal que

g1 + g0 = g2.

4. Si g0 ∈ G satisface que

g + g0 = g,

entonces, g0 = 0.

Prueba: Para la primera parte de teorema, suponga que existen dos elementos id´enticos en G, digamos 0 y 0∗. Por definici´on 0 + g = g = g + 0 ∀g ∈ G

y

0∗ + g = g = g + 0∗ ∀g ∈ G

Seleccionando para la primera ecuaci´on g como 0∗ y para la segunda ecuaci´on g como 0, se tiene que

0 + 0∗ = 0∗ = 0∗ + 0 y 0∗ + 0 = 0 = 0 + 0∗

Por lo tanto, de la parte izquierda de la primera ecuaci´on se tiene que

0 + 0∗ = 0∗,

y de la parte derecha de la segunda ecuaci´on, se tiene que

0 + 0∗ = 0.

Puesto que el resultado de una operaci´on es u´nico, y se tiene que 0 = 0∗. El elemento id´entico del grupo es u´nico. Para la segunda parte del teorema, considere la ecuaci´on

g + g∗ = 0,

sea (−g) ∈ G un inverso aditivo de g, entonces

g∗ = 0 + g∗ = [(−g) + g] + g∗ = (−g) + [g + g∗] = (−g) + 0 = (−g)

1Frecuentemente, es importante indicar cuando dos elementos de un conjunto son iguales, en el caso particular de los nu´meros racionales, Q, esta indicaci´on da lugar a las relaciones de equivalencia.

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