Algebra Lineal

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad del Zulia

LUZ

Cabimas, Edo. Zulia

Algebra Lineal

Realizado por:

Nestor G. Vivas U. C.I.: 25.486.206

Fernando J. Marcano M. C.I.: 23.882.113

Carlos Carrascos C.I.: 23.762.414

Sección: 001

Profesora: Edith M. Rondón L.

Cabimas, Mayo de 2014

Índice Analítico

Tema 1. Transformaciones Lineales

1.1.- Definición

1.2.- T. Inyectiva, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.

1.3.- Transformaciones del plano.

1.3.1.-Transformaciones de Figuras Geométricas.

1.4.- Núcleo e imagen de una transformación.

1.5.- Representación matricial de una TL respecto de la Base Canónica

1.6.- Isomorfismo de una Transformación Lineal.

1.7.- Algebra de Transformaciones.

1.8.- Inversa de Transformaciones

Tema 2. Diagonializacion de una Matriz

1.- Diagonalización de una matriz

1.1.- Matriz de cambio de base

1.2.- Matriz semejante

1.3.- Valor y vector propio

1.3.1.- Definición

1.3.2.- Propiedades

1.4.- Polinomio característico y ecuación característica de una matriz

1.5.- Vectores propios e independencia lineal

Tema 3. Espacios Vectoriales

1.- Operaciones en R^n

2.- Espacio Vectorial

2.1.- Definición de espacio vectorial

2.2.- Subespacios vectoriales

2.2.1.- Teoremas

2.3.- Definición de combinación lineal

2.4.- Subespacio generado

2.5.- Dependencia e independencia lineal

2.6.- Base de un espacio vectorial

2.7.- Dimensión de un espacio

2.8.- Espacio nulo de una matriz

2.9.- Vector coordenado respecto de una base

2.10.- Espacio columna de una matriz

2.11.- Producto interno de conjuntos ortogonales

Tema 1. Transformaciones Lineales

1.1.- Definición

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.

Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios. Sean (V, +V, •V) y (W, +W , •W ) dos K-espacios vectoriales. Una funciónf : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo)de V en W si cumple:

i) f(v +Vv0) = f(v) +W f(v0) ∀ v, v0 ∈V.ii) f(λ •Vv) = λ •W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

1.2.- T. Inyectiva, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.

Una transformación lineal es inyectiva si para cualesquiera elementos se cumple que:

se dice sobreyectiva si .

Proposición 1. Si es una transformación lineal, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva.

2. .

3. Si son vectores L I de , entonces son vectores LI de .

4. Si es una base de , entonces es una base de .

En particular, si y son espacios de dimensión finita , entonces es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva.

Se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Dos -espacios y se dicen isomorfos si existe una transformación lineal biyectiva de en . Esta relación entre y se denota por .

Siendo biyectiva, existe la función inversa de definida por

donde y . Es obvio que es también una tranformación lineal y cumple las siguientes condiciones:

Nótese que es la única transformación de en que cumple estas identidades, y se le conoce como la transformación inversa de . Se ha visto que una transformación lineal biyectiva tiene inversa, ésta es única y viene caracterizada por las identidades anteriores.

Nótese que la relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia en la colección de todos los -espacios. Es también claro que la composición de dos isomorfismos es nuevamente un isomorfismo.Un isomorfismo de un espacio en si mismo se denomina un automorfismo de . La colección de todos los automorfismos de un espacio se denota por . Se tiene entonces inmediatamente el siguiente resultado.

Proposición 2. Si es un -espacio, entonces es un grupo respecto de la composición de transformaciones con elemento neutro

Una consecuencia inmediata de la Proposición 1 es el siguiente corolario.

Corolario 1. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. es inyectiva

2.

3. es sobreyectiva

4.

5. es un automorfismo.

El siguiente teorema pone de manifiesto la importancia del concepto de isomorfismo para el caso de los espacios vectoriales.

Teorema 3. Salvo isomorfismos, el único -espacio de dimensión es sucesiones reales convergentes . Más exactamente, si es un -espacio de dimensión , entonces .

1.3.- Transformaciones del plano

Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Existen muchas formas de transformar el plano, pero hay una que es motivo de nuestro interés, esta forma consiste en transformar el plano conservando las distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformados. Estos tipos de transformaciones reciben el nombre de movimientos o Isometrías.

1.3.1.-Transformaciones de Figuras Geométricas.

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.

Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.

1.4.- Núcleo e imagen de una transformación.

Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.

i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)

ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.

iii.Esta

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