Algebra Lineal

R4 ! R4 el endomorfismo cuya matriz en la base natural es

A =

0

BB@

0 1 −3 2

−1 2 −1 0

0 0 2 −1

0 0 0 1

1

CCA

.

Consideramos los subespacios vectoriales G = {(x, y, z, t) 2 R4 : z = t = 0} y

H = {(x, y, z, t) 2 R4 : x − y + 2z − t = y − z + 2t = 0}.

a) Probar que R4 = G  H. Probar que G y H son invariantes por f.

b) Encontrar una base U = (u1, u2, u3, u4) de R4 tal que G = [u1, u2] y H = [u3, u4].

Calcular la matriz del endomorfismo f en la base U.

c) Deducir, a partir del apartado anterior, la forma reducida de Jordan de f.

d) Encontrar una base de Jordan de f.

14. Sea f : R[x] ! R[x] el endomorfismo definido por f(P(x)) = P(x − ), donde  2 R.

a) Probar que los polinomios 1, x−, (x−)2, . . . , (x−)n son linealmente independientes.

b) Probar que f es biyectiva.

c) Probar que Gn = Rn[x] es un subespacio vectorial invariante por f.

d) Sea  = 2 y n = 3. Calcular la imagen y la anti-imagen del polinomio x3 − x2 + x − 1.

Estudiar si la restricci´on f|G3 diagonaliza. En caso negativo, dar su forma reducida de

Jordan.

e) Sea  6= 0 y n arbitrario. Estudiar si la restricci´on f|Gn diagonaliza. En caso negativo,

dar su forma reducida de Jordan.

15. Dada una matriz arbitraria A del espacio vectorial Mn(C), consideramos el conjunto

ZA =



X 2 Mn(C) : AX = XA

.

a) Probar que ZA es un subespacio vectorial de dimensi´on mayor o igual que uno.

b) Sea J la forma reducida de Jordan de A y sea S una matriz invertible tal que J = S−1AS.

Probar que X 2 ZA , S−1XS 2 ZJ . Probar que la aplicaci´on  : ZA ! ZJ definida

por

(X) = S−1XS

es biyectiva.

c) Sean A =



2 2

−1 5



y B =



4 −1

1 2



. Sean JA y JB sus formas reducidas de

Jordan. Calcular una base de ZJA y otra de ZJB. Calcular las dimensiones de ZA y ZB.

d) ¿Qu´e forma debe tener una matriz A 2 M2(C) para que dimZA > 2?

16. Sean f, g : M2(R) ! M2(R) los endomorfismos dados por f(X) = AX y g(X) = XB donde

A =



0 1

1 0



B =



2 −1

1 0



.

a) Calcular las matrices de f y g en la base natural de M2(R).

b) Calcular las formas reducidas de Jordan y unas bases de Jordan de f y g.

c) Encontrar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que anula simult´aneamente a f y g.

d) Dar una base de un subespacio vectorial de M2(R) de dimensi´on dos que sea invariante

simult´aneamente por f y g.

17. Consideramos las matrices A =

0

@

...