Algebra Lineal

Los números complejos son aquellos números que están compuestos por una parte real y una imaginaria. Estos números elaboran el concepto recta numérica 1-D hacia el plano complejo 2D con la ayuda de una recta numérica para trazar la parte real del número y para sumar el eje vertical a fin de mostrar la parte imaginaria. Por lo tanto, en naturaleza los números complejos contienen los números reales extendidos, lo cual resulta útil al resolver un problema que podría ser difícil si utilizáramos solamente los números reales.

La aplicación de números complejos está incluida en una amplia gama desde el electromagnetismo, la ingeniería, las matemáticas aplicadas, la física cuántica, hasta la teoría del caos.

La idea principal detrás del uso de los números complejos es resolver las ecuaciones correspondientes que no tienen ninguna solución real. Ejemplo: Imaginemos la ecuación . Dado que la variable x es cuadrada, no puede ser negativa o cero y, por tanto, la ecuación correspondiente no tiene ninguna solución real. Estos tipos de problemas pueden resolverse con la ayuda de los números complejos. La idea principal es introducir la variable compleja ‘i’ cuyo valor después de elevarse al cuadrado es −1. Por lo tanto, x = -i y x = I son las dos soluciones correspondientes de la ecuación.

Ahora definamos el concepto. Se puede definir un número complejo como una expresión del tipo: aquí b y a son la parte real del número, mientras que I es la parte imaginaria. La parte real e imaginaria se denota en general como Re(z) and Im(z) respectivamente.

Incluso un número real normal puede ser considerado como un número complejo que no tiene su parte imaginaria o cuya parte imaginaria es igual a 0. Es decir, a + 0i.

Con el fin de ver el número complejo, se utiliza un diagrama de Argand o el plano complejo. Sin embargo, sólo puede verse en forma de un vector de posición o un punto. En el plano complejo, la parte real del número complejo se traza en la parte horizontal, mientras que la parte imaginaria se traza en el eje vertical.

Un vector de posición consta de dirección y magnitud. Existen ciertas operaciones que pueden realizarse en los números complejos. Estas son:

1). Conjunción: Para una expresión de la forma z = x + yi, el conjugado se representa como x − yi. Generalmente, el conjugado del número se representa como . , lo cual significa que la Z es “reflejada” de acuerdo al eje real.

2). Suma y Resta: La suma al igual que la resta de números complejos se realiza sumando o restando las partes reales e imaginarias por separado. Esto es, para la suma:

Asimismo, para la resta:

3). Multiplicación: En el caso de la multiplicación, la fórmula se convierte en:

4). Raíz cuadrada: En la raíz cuadrada, la expresión a + bi puede escribirse de la forma:

. Aquí, y

y sgn denota la función signo. La forma se conoce como el módulo de la expresión a + bi donde la raíz cuadrada que consiste de la parte real positiva se denomina principio de la raíz cuadrada

1.

Un número complejo es un número con la estructura x + iy. Aquí x es la parte real del número, y es la parte imaginaria del número e i significa imaginario. El valor del cuadrado de i es igual a −1. El número imaginario i es uno de los dos número que cumple con la regla (i) 2 = −1, el otro número es -i. Formalmente, escribimos i =√−1. Un número complejo z se escribe como

z = x + iy

donde x e y son números reales. Llamamos a x la parte real de z y y la parte imaginaria y escribimos x = Rez, y = Imz.

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales. El complejo conjugado de z = x + iy, denotado como ¯z, es definido como

¯Z = x - iy

El uso de números complejos comenzó mucho antes que estos se definieran formalmente.

Antes no se solía usar el concepto de números complejos, porque si un número se elevaba al cuadrado, este no permanecía negativo. Pero el interés de los matemáticos fue en esta dirección cuando se encontraron con un problema interesante cuya solución no podía ser obtenida, el cual era algo como, x2 + 1 = 0. Aquí tenemos x2 = −1 y no llegamos a la solución, por lo tanto, los matemáticos definieron, con este propósito, un tipo de número, denominado número imaginario . Sin embargo, lo que algunas personas creen, algo muy sorprendente para muchos, es que los números complejos surgieron tras la necesidad de resolver las ecuaciones cúbicas, y no (como comúnmente se cree) las ecuaciones cuadráticas.

La referencia más importante según los registros se encontró en el año 1545 por Cardan. Cardan los encontró mientras investigaba las raíces polinómicas. Se dice que la ‘i’ se formó porque se convirtió en el requisito de los matemáticos. Al principio, durante el periodo inicial de las Matemáticas, la solución de un problema relacionado con la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo: x2+1=0 era considerado imposible de resolver. Después de un tiempo, los expertos llegaron con el número iota para resolver tales ecuaciones.

L. Euler (1707–1783) introdujo la notación i =√−1,, y visualizó los números complejos como puntos con coordenadas rectangulares, pero no dió un fundamento satisfactorio para los números complejos. Euler usó la fórmula x + iy = r (cos θ + i sin θ) y visualizó las raíz de zn = 1 como vértices de un polígono regular. Definió el complejo exponencial, y demostró la identidad eiθ = cos θ + i sin θ.

Caspar Wessel, un noruego, fue el primero en obtener y publicar una presentación adecuada de los números complejos. Wess utilizó lo que conocemos hoy día como vectores. El usaba la suma geométrica de vectores (ley del paralelogramo) y definió la multiplicación de los vectores en los términos que hoy llamamos adición de los ángulos polares y multiplicación de las magnitudes.

Existe una gran cantidad de aplicaciones de los números complejos, especialmente en la industria eléctrica donde la misma definición de la fuente de corriente alterna se basa en sí en los números complejos, ya que esta incluye una fase de campo que es un componente angular.

2.

La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo los números reales. Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.

Suma: La operación de sumar dos números complejos x +

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