Algebra Lineal

1 Vector

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector tiene:

Una dirección

La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Un sentido

El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

Un módulo

El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por .El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Clasificación de vectores

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vectordado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición

El vector que une el origen de coordenadas O con un puntoP se llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a1 = a2 = ••• = an = 0

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales

2

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

COMPONENTE DE UN VECTOR

Es muy común que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes.

Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector.

El siguiente simulador dibuja automáticamente las componentes del vector A. Puedes pulsar y arrastrar con el ratón el extremo del vector.

QUé ES UN VECTOR

El vector es un concepto que proviene de la física, en la que se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Mientras que la magnitud escalar se expresa con un número (por ejemplo, la masa de un cuerpo, el volumen, la capacidad de un depósito, la temperatura...), en la vectorial se necesita además la dirección y el sentido. Por ejemplo, cuando nos referimos a un movimiento, no basta con indicar el desplazamiento (módulo), sino también la dirección y el sentido del movimiento. Con este concepto podemos describir en física la velocidad, la aceleración, la fuerza...

Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un orden (segmento orientado). Se representa como AB (con una flecha en la parte superior) siendo A y B los extremos. Los puntos en que comienza y termina el vector se llaman origen y extremo, respectivamente.

VECTORES OPUESTOS

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a es .

VECTORES PARALELOS

Es aquel que en ningún momento de su prolongación corta al otro vector paralelo a el.

VECTORES ORTOGONALES

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero.

Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales.

A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt.

Sea B = {b1,b2,b3} una base que no es ortonormal. Los vectores:

c1 = b1

c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1)

c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2)

VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

VECTORES NULO

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y

...