ALGEBRA LINEAL

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL VER.

MATERIA:

ALGEBRA LINEAL

Ingeniero:

DIANA DEL ANGEL GREER

Trabajo:

UNIDAD V

CARRERA:

Ing. GESTION EMPRESARIAL

Alumnos:

ALEXIS CLEMENTE CORTEZ

La transformación lineal

5.1 La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).

En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:

1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T (v) donde x es una escala

Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectaba. En el caso que, W y V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I.

Multiplicación de matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T (v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:

Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V sean orto normales, será simple representar la matriz correspondiente como .

Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser continua. Por ejemplo, considera que un espacio poli nómico de 1 variable sea v y T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras que T (xn)/n no converge.

El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2 transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea simétrica en cualquier base orto normal. Una transformación lineal que es auto-adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano) contiene una base orto normal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.

Existen dos espacios fundamentales que están asociados a una transformación lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kermes y la imagen de una transformación lineal.

La Matriz De Una transformación lineal

5.3 la transformación lineal

de W. Ahora definimos la matriz MBB’ (T) de T con respecto a estas bases. Puesto que B0 es una base de W, cada T (vj) puede escribirse únicamente como

T(v j) =

Por lo tanto la matriz de T, en definitiva, con respecto a las bases B y B0 se define como la matriz MBB’ (T) = (cij ) m × n . ¿Lo qué dice esta definición es que la columna jth de la matriz MBB’(T) es el vector columna formado por los coeficientes de T(vj) con respecto a la base B0? Uno puede expresar el término anterior en forma matricial mediante

(T(v1) T(v2) • • • T(v n)) = (w1 w2 • • •wm)MBB ’(T).

Es importante tener en cuenta que si V = Fn, W = Fm y T = TA, donde A Fm×n, entonces MBB’(T) = A si B y B0 son las bases estándares. De TA (ej) es siempre la columna jth de A.

Ahora, sea V el espacio de polinomios reales de al menos tres grados, y W el espacio de polinomios reales de a lo sumo dos grados. Entonces, la diferenciación es una transformación lineal D: V → W. Ahora

D (ax3 + bx2 + cx + d) = 3ax2 + 2bx + c. Sea B la base {1, x, x2, x3} de V y B0 la base {1, x, x2} de W. Ahora,

D (1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) = 3×2.

AsíMBB’(D) =

Ahora bien, supongamos que T: V → V es una transformación lineal diagonalizable (o semi-simple). Recordemos que esto significa que existe una base B = {v1, v2. . . vn} de V tal que (vi) = vi para cada índice i entre 1 y n. Por lo tanto, B es una base propia de V para T. En este caso, MBB (T) es la matriz diagonal.

Pero, ¿Qué es la matriz de T con respecto a alguna otra base B0 de V? El primer paso para responder a esta pregunta es encontrar cómo relacionar las expansiones de un vector dado de V con respecto a dos bases distintas. Esto por sí solo constituye un concepto diferente y más amplio que necesita de un conocimiento muy superior y más profundo de las matemáticas.

Aplicación De Las Transformaciones lineales:

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación

Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn  Rm.

1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado.

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