Algebra Lineal

Introducción

Un vector en el espacio de “n” dimensiones se define como un nada de números reales es decir un arregle ordenado (a1, a2,…, an) al i-esimo número se le llama i-esima componente del vector.

Al conjunto de todos los vectores de “n” dimensiones se le llama espacio “n” dimensional o simplemente espacio “n”.

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que forman una base del espacio vectorial, es decir, da una idea de cuantos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en este espacio. Cuando el espacio topológico en cuestión es un espacio vectorial, ese número coincide con el número de vectores de una base de dicho espacio.

Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre sería un espacio vectorial.

Vectores y Dimensiones

Un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el (0) y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.

Base y Dimensión:

La dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una, y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finita como de dimensión infinita.

En un conjunto S= {v1, v2,..., vk} es un espacio vectorial “V” este se denomina Base, si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vectores entonces “V” es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensión infinita.

Base y Dependencia Lineal:

Si un conjunto finito S= {v1, v2,..., vn} es una base de un espacio vectorial “V” si todo conjunto que contiene más de “n” vectores de “V” es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial “V” tiene una base con “n” vectores entonces toda base “V” tiene “n” vectores.

Dimensión de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial “V” tiene una base con “n” vectores entonces esa “n” es la dimensión de esa base y se denota dim (V) = n.

Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub-espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensión del mismo es el número de vectores que hay en la base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional:

Siendo “V” su espacio vectorial y “n = n” entonces S = {v1, v2,..., vn} en un conjunto de vectores linealmente independientes en “V”, entonces S es una base de “V”.

Ejemplo: si S = {v1, v2,..., vn} genera a “V”, entonces “S” es una base de “V”.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales “Rn” o “R2”. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación, operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir

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