Algebra Lineal

UNIDAD 3

1.-Buscar 3 ejemplos de cada tema y explicar por lo menos 1 ejemplo

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.

3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer.

UNIDAD 4

1.-Buscar 3 ejemplos de cada tema y explicar por lo menos 1 ejemplo

4.1 Definición de espacio vectorial.

4.2 Definición de sub -espacio vectorial y sus propiedades.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

4.6 Base orto normal, proceso de orto normalización de Gram-Schmidt

UNIDAD 5

1.-Buscar 3 ejemplos de cada tema y explicar por lo menos 1 ejemplo

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

5.3 La matriz de una transformación lineal.

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales:

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

Ejemplo explicado:

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución:

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema

2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución

3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución

Ejemplo:

…

3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer:

Eliminación de Gauss

Este método se aplica para resolver sistemas de líneas obteniendo un sistema equivalente:

De donde la notación se usa simplemente para denotar que cambio. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método consiste en la eliminación hacia delante y la sustitución hacia atrás.

Ejemplo:

Usar el método de Gauss – Jordán para dar solución al siguiente sistema de ecuaciones

4.1 Definición de espacio vectorial:

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.

Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.

Si ku=0, donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.

Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku.

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal:

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Ejemplo explicado:

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k1 u + k2 v

1.

(9,2,7)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(9,2,7)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

9= k1 +6k2

2= 2k1 +4k2

...