Aplicaciones Matematicas

Problema 1

Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de fluido en los que se disolvieron 10 libras de sal. La salmuera tiene 1/ 2 de sal por galón que entra al tanque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min.

Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos.

Datos:

• Si la cantidad (Q ) depende del tiempo (t), entonces tenemos Q(t)
• Q(0)=10 gal/min
• La velocidad de entrada de la solución al tanque es de 6 galones por minuto, entonces    Ve= 6 gal/min.
• La sal entra es igual a ½  de libras por galón, entonces Se= ½ lb/gal.
• La velocidad de entrada de sal es de 6 libras por minuto por ½, entonces Ve-sal=6(½) lb/min
• La velocidad con la que sale la mezcla del tanque es de 4 galones por minuto, entonces   Vs= 4 gal/min
• Como la solución del taque varia ya que se aumentan dos galones por minuto, entonces V(t)=(100+2t) gal.
• Como la sal que sale de la mezcla depende del tiempo, lb/gal[pic 1]
• La velocidad con la que sale la sal del tanque seria: [pic 2]

Planteamiento:

Tenemos que la velocidad de cambio de la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante    

 es:[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

La cantidad Q(t) esta dada por la solución del PVI

       , donde Q(0) =10 [pic 7]

Se puede reescribir la ecuación, quedando una ED lineal:

[pic 8]

Resolvemos la ED lineal utilizando el factor integrante:

[pic 9]

Agregamos el factor integrante en nuestra ED, por lo tanto:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

  es la solución general de la ED, y ahora como Q(0)=10, encontramos el valor de la constante:[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Sustituimos la constante en la ED general:

[pic 24]

Ahora para los 30 minutos:

[pic 25]

...