APLICACIONES MATEMATICAS

1.- Se elabora una caja rectangular sin tapa con un costo de material de $10. Si el material para el fondo de la caja cuesta $0.15 por pie cuadrado y el material para los lados cuesta $0.30 por pie cuadrado, determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda elaborarse.

Método 1: Multiplicadores de Lagrange

Se identifica que el problema es uno de optimización de una función (aquella que modela el volumen de la caja) sujeto a una restricción (el presupuesto que se tiene para los materiales de la caja). El problema entonces puede resolverse haciendo uso del método de multiplicadores de Lagrange, el cual se basa en obtener una función (denominada usualmente lagrangiano) de la forma:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝜆(𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑐)

Donde 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) es la función objetivo que se busca optimizar (en este caso, el volumen), 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑐 representan a la función restricción la cual está normalmente igualada a una constante c (en este caso, el costo de $10 serían la constante) y 𝜆 es el multiplicador de lagrange, un parámetro que se introduce para poder obtener los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sujeta a la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑐.

El volumen de una caja rectangular estará dado por la multiplicación de las 3 dimensiones que lo conforman (largo, ancho y profundidad). Representando esto en una figura, sería:

[pic 1]

Entonces:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧

En la figura esquematizada se obvia el hecho de que la caja no tiene tapa. La base corresponde a la cara inferior de dimensiones xy. Mientras que los lados laterales corresponden a dos lados de dimensiones xz y dos lados de dimensiones yz. Por lo tanto, la función que modela el costo de la caja estaría dada de la forma:

𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0.15(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) + 0.3(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠)

𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0.15𝑥𝑦 + 0.3(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧)

Para obtener la función restricción de la forma 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑐 se debe igualar la expresión anterior a la constante de restricción, entonces:

0.15𝑥𝑦 + 0.3(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧) = 10

0.15𝑥𝑦 + 0.6𝑥𝑧 + 0.6𝑦𝑧 − 10 = 0

Para evitar trabajar con decimales, se multiplica toda la expresión anterior por 20:

3𝑥𝑦 + 12𝑥𝑧 + 12𝑦𝑧 − 200 = 0

El lagrangiano correspondiente al problema es entonces:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 𝑥𝑦𝑧 − 𝜆(3𝑥𝑦 + 12𝑥𝑧 + 12𝑦𝑧 − 200)

Se obtienen las derivadas parciales con respecto de todas las variables que se tienen en el lagrangiano y se igualan a cero:

𝑓𝑥 = 𝑦𝑧 − 3𝑦𝜆 − 12𝑧𝜆 = 0

𝑓𝑦 = 𝑥𝑧 − 3𝑥𝜆 − 12𝑧𝜆 = 0

𝑓𝑧 = 𝑥𝑦 − 12𝑥𝜆 − 12𝑦𝜆 = 0

𝑓𝜆 = −3𝑥𝑦 − 12𝑥𝑧 − 12𝑦𝑧 + 200 = 0

Despejando 𝜆 de las primeras 3 derivadas parciales se obtiene:

-        Primera derivada parcial

𝑦𝑧 − 3𝑦𝜆 − 12𝑧𝜆 = 0

𝑦𝑧 = 3𝑦𝜆 + 12𝑧𝜆

𝑦𝑧 = 𝜆(3𝑦 + 12𝑧)

𝑦𝑧

𝜆 =

[pic 2]

3𝑦 + 12𝑧

-        Segunda derivada parcial

𝑥𝑧 − 3𝑥𝜆 − 12𝑧𝜆 = 0

𝑥𝑧 = 3𝑥𝜆 + 12𝑧𝜆

𝑥𝑧 = 𝜆(3𝑥 + 12𝑧)

𝑥𝑧

-        Tercera derivada parcial

𝜆 =

[pic 3]

3𝑥 + 12𝑧

𝑥𝑦 − 12𝑥𝜆 − 12𝑦𝜆 = 0

𝑥𝑦 = 12𝑥𝜆 + 12𝑦𝜆

𝑥𝑦 = 𝜆(12𝑥 + 12𝑦)

𝑥𝑦

𝜆 =

A partir de los despejes anteriores, se puede hacer la igualdad:

𝑦𝑧

=[pic 4][pic 5]

[pic 6]

12𝑥 + 12𝑦

𝑥𝑧

=[pic 7]

𝑥𝑦

3𝑦 + 12𝑧

3𝑥 + 12𝑧

12𝑥 + 12𝑦

Ya que estas expresiones son todas iguales a 𝜆. Con estas igualdades se procede a despejar una de las variables para ir dando solución al sistema de ecuaciones.

De la igualdad        𝑦𝑧[pic 8]

3𝑦+12𝑧

=                𝑥𝑧 3𝑥+12𝑧

se despeja y. Multiplicando ambos lados por 1:

𝑧[pic 9]

1        𝑦𝑧[pic 10]

([pic 11][pic 12]

1

) =        ([pic 13]

𝑥𝑧

)[pic 14]

𝑧 3𝑦 + 12𝑧

𝑦

[pic 15]

3𝑦 + 12𝑧

𝑧   3𝑥 + 12𝑧

𝑥

=[pic 16]

3𝑥 + 12𝑧

Multiplicando ambos lados por (3𝑦 + 12𝑧)(3𝑥 + 12𝑧)

𝑦        𝑥

([pic 17][pic 18]

3𝑦 + 12𝑧

) (3𝑦 + 12𝑧)(3𝑥 + 12𝑧) = (

3𝑥 + 12𝑧

) (3𝑦 + 12𝑧)(3𝑥 + 12𝑧)

Desarrollando:

Restando de ambos lados 3𝑥𝑦:

Dividiendo ambos lados entre 12𝑧:

𝑦 (3𝑥 + 12𝑧) = 𝑥 (3𝑦 + 12𝑧)

3𝑥𝑦 + 12𝑦𝑧 = 3𝑥𝑦 + 12𝑥𝑧

...