Aplicación de algebra lineal en la vida

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLAN[pic 2]

INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

“Aplicación de algebra lineal en la vida[pic 3]

profesional”

Alumno: Sánchez Cortes

Joaquín Uriel

2012-1

Prof.: M. Carlos Oropeza Legorreta

6  DICIEMBRE DE 2011

Introducción:

La mayoría de los textos de algebra lineal con los que contamos cuentan con problemas un tanto superficiales, es decir, se alejan de la realidad. Ejemplos que tal vez nunca nos lleguemos a enfrentar en nuestra vida profesional.  Los ejemplos de los textos hacen que el alumno se deje de interesar en esta materia, ya que pueden llegar a pensar que nunca la van a aplicar.

Este trabajo tiene como objetivo que nosotros como alumnos nos despierte el interés  del estudio de esta materia, así mismo irse enfocando en materias mas especificas de la ingeniería, tomando como ejemplo “Análisis de estructuras”  de nuestros compañeros de Ingeniería Civil, donde se encuentran con un uso abundante de matrices y sistemas de ecuaciones.

En el siguiente ejemplo abordamos un problema de aplicación de sistema de ecuaciones y matrices.

Un sistema estructural compuesto por 4 barras coplanares que cuelgan de un techo horizontal unidas a este mediante articulaciones, además, se encuentra unidas entre sí mediante otra articulación.

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1.- Encuentr las fuerzas axiales en las 4 barras, cuando se somete al sistema estructural a dor cargas.

Solucion:

Una carga horizontal P1 y otra vertical P2, ambas aplicadas en la union comun de las barras. Aplicando las condiciones de equilibrio de la union comun se llega a A{N} ={P}, donde A es una matriz de 2x4 con los cosenos direcotres de las barras,

{N} una matriz columna 4×1 con fuerzas axiales de las barras y {P} el vector columna  de  2x1  de  las  cargas  aplicadas.  La  relacion  de  compartibilidad geometrica conducen a: At {δ}={∆}, donde At  es la transpuesta de A, {∆} matriz columna de las deformaciones en las barras y {δ} el vector columna de las componentes rectangulares del desplazamiento de la union comun. Las componentes  entre  fuerzas  axiales  y  deformaciones  de  las  barras  (LEY  DE

HOOKE) nos conduce a {N}=[k]{∆} donde [k] es una matriz diagonal de 4x4 con kii=ki  la constante elastica de la barra i. Combinado adecuadamente estras tres ecuaciones obtenemos la matriz {N}.

Las fuerzas internas N1,..,N4  de las barras pueden expresarse en funcion de las cargas P1 y P2 mediante el equilibrio del punto 0.

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En esta figura se muestran las fuerzas que actuan sobre este punto, los signos negativos se deben a que as fuerzas en las barras las cuales estamos suponiendo positivas a la compresion, en el nudo aparecen de sentidos opuestos debido a la tercera ley de Newton. Utilizando las condiciones de equilibrio:

([pic 6])[pic 7]      +     ([pic 8])[pic 9]     +     ([pic 10])[pic 11]      +     ([pic 12])[pic 13]+     P1=     0

………………………………………………(1)

([pic 14])[pic 15]+ ([pic 16])[pic 17] + ([pic 18])[pic 19] + ([pic 20])[pic 21]+ P2= 0

Ó En forma matricial:

[pic 22] =[pic 23][pic 24]

Donde cos αi, cos βi   son los cosenos directores del segmento dirigido que uno 0 con el otro extremo de la barra   i(i=1,……..,4), lo que hace que las fuerzas de compresión sean positivas y las de tensión negativas. Se puede observar que el sistema de ecuaciones dado por 1 es compartible e indeterminado. Para poder convertir el sistema de ecuaciones en compartible determinado obtendremos ecuaciones  a  partir  de  análisis  de  la  deformación  del  sistema  estructural, definiendo las matrices A, [pic 25] y [pic 26] como:

A = (                                          [pic 27]  y       =[pic 28][pic 29][pic 30]

La ecuación anterior se puede escribir como: A { N } = {P}     (3)

[pic 31]

En la figura anterior se ha representado la deformación ∆3 de la barra 3 (0´ es la posición final del punto 0). Supongamos que la barra 3 se alargo de manera en que su extremo ocupa la posición B, una vez producido este alargamiento, se rota esta barra en torno a la articulación del techo, sustituyendo el arco circular por su tangente B hasta interceptar otro arco descrito por otra barra, dicha intersección es por supuesto la posición final del punto 0, que es 0´, en estas condiciones hay que obtener el alargamiento ∆3 en función de las componentes δ1     y δ2  del desplazamiento 0 0. Para esto se proyecta estas componentes en la dirección de la barra 3 (ver figura anterior), si C es la proyección del vector δ1   y D el extremo final de este vector el ángulo COD=  α3 el cual es congruente con B0´D, ya que cada lado del primer ángulo es perpendicular a algún otro lado.

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