Apuntes de catedra matematicas

NUMEROS IRRACIONALES

Conocemos hasta ahora distintos Conjuntos Numéricos:

• Los n° naturales: (5, 18, 1.978) , representados por la letra N

• Los n° enteros: ( -3, -123, 18, 568), representados por la letra Z

• Los n° racionales ( -3, ½, ¼, -¾, 526) representados por la letra Q

Cada uno de estos conjuntos es una ampliación del anterior: N Z Q

En definitiva, todo número conocido hasta ahora:

• puede ser escrito como el cociente entre otros dos números enteros ( -5, )

• tiene una cantidad finita o infinita periódica de cifras decimales (2,2 ; 1,6͡6; 0,818181…)

No es difícil imaginar la existencia de números con infinitos decimales no periódicos, por ejemplo: 0,123857343769… ó 1,41421356… o π, que, por lo tanto no pueden ser escritos como una fracción. Se llaman Números Irracionales, y se designan con la letra I

Existen algunos ejemplos de n° Irracionales “famosos”, como:

π = 3.141592653589...(relaciona la longitud de la circunferencia y su radio)

e = 2.718281828459... (n° de Euler: usado en logaritmos)

φ = (“N° de Oro”: usado por grandes artistas en las proporciones de sus obras. Se relaciona con la idea de estética y belleza, relaciona desde las proporciones en el rostro, hasta las distancia entre cada rama y cada hoja en un árbol).

La Unión entre los números Racionales y los números Irracionales, la denominamos Números Reales, y la simbolizamos con la letra R.

Con los números Reales logramos la idea de “densidad” de la recta numérica.

(Nota: Si al calcular una medida o resolver un ejercicio, obtenemos como resultado un n° Irracional, como por ejemplo , debemos tener en claro que ése es el valor exacto del n° y así lo dejamos expresado, sin buscar su expresión decimal)

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Los números Irracionales pueden ser representados en la recta numérica con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Ejercicio 1: Representa en la recta numérica: y

Para trabajar en el conjunto de los N° Irracionales deberemos operar con radicales, y para eso repasaremos algunas propiedades de la Potenciación y de la Radicación.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN: 2: exponente

X: base

* Producto de Potencias de igual base: am · a n = am+n 25·22 = 25+2 = 27=128

* Cociente de Potencias de igual base: am : a n = am – n 25:22 =25-2 = 23=8

* Potencia de otra Potencia: (am)n=am · n [(−2)3]2 = (−2)6 =64

* Potencia de exponente cero: a0 = 1 (a≠0) 100 = 1

* Potencia de exponente negativo: (a≠0)

* Distributividad respecto del producto y cociente: (a · b) n = an · b n

(a : b) n = an : b n

* Distributividad respecto de la suma y la resta:

OJO!!!: La Potenciación NO ES DISTRIBUTIVA respecto de la suma y la resta (a + b)n ≠ an + bn (a – b)n ≠ an – bn

Ejercicio 2: Resuelve aplicando las propiedades de la potenciación:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN:

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; (con la salvedad de que cuando a sea negativo, n tiene que ser impar).

* Raíz de una potencia o potencia de una raíz:

* Raíz de otra raíz:

* Producto del índice y exponente por un mismo número:

* Distributividad respecto de la multiplicación y división:

* Distributividad respecto de la suma y la resta:

OJO!!!: La Radicación NO ES DISTRIBUTIVA respecto de la suma y la resta

Ejercicio 3: Resuelve aplicando las propiedades de la radicación:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Ejercicio 4: Resuelve aplicando propiedades:

a) b)

c) d)

e) f) g)

EXPONENTES FRACCIONARIOS:

Los radicales se pueden expresar como potencias de índice fraccionario, de modo que el índice de la raíz sea el denominador del exponente, y el exponente del radicando (que puede tenerlo

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