Articulo álgebra Abstracta

Anillos euclidianos.

*Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Nuevo León, San Nicolás de los Garza, Nuevo León.

(Mayo 17, 2012)

Resumen

Los anillos son un tipo de estructura algebraica bi-operacional, lo que significa, que poseen definidas dos operaciones, las que comúnmente se conocen como adición y multiplicación. En el presente artículo se muestran algunas de las definiciones y resultados fascinantes sobre los anillos euclidianos. Se define un anillo euclidiano, un anillo de ideales principales, cuándo se dice que un elemento a divide a b, un máximo común divisor, un elemento unidad, elementos asociados en un anillo conmutativo, elemento primo en un anillo euclidiano y primos relativos en un anillo euclidiano. Se presentan también el teorema de factorización única, entre otros teoremas y lemas importantes basados en anillos euclidianos.

Palabras clave: Anillo conmutativo, Anillo euclidiano, ideales principales, elemento unitario, elemento unidad, elemento primo, primos relativos, teorema de factorización única.

Euclidean rings.

Abstract

The rings are a type of algebraic structure bi-operational, which means, they have defined two operations, which commonly are known as addition and multiplication. In this paper, we present some definitions and fascinating results on Euclidean rings. We define a Euclidean ring, a ring of principal ideals, when we say that an element a divides b, a greatest common divisor, a unit element, associated elements in a commutative ring, a element prime in a Euclidean ring and relatively prime in a Euclidean ring. They also have the unique factorization theorem, among other important theorems and lemmas based on Euclidean rings.

Keywords: Ring commutative, Euclidean ring, principal ideals, unitary element, identity element, prime element, relatively prime, unique factorization theorem.

1. Introducción.

La clase de anillos que ahora nos proponemos estudiar esta sugerida con varios ejemplos (el anillo de los enteros, los enteros gaussianos y los anillos de polinomios) la definición de esta clase de anillos está diseñada para incorporar en ella ciertas características sobresalientes de los tres ejemplos concretos que acabamos de mencionar.

De la familia de todos los anillos, algunos subfamilias tiene interés e importancia particular, por su relación en la aritmética o en la geometría, por ejemplo el anillo de enteros y de polinomios k(x). En estos anillos existe una noción de divisibilidad y un algoritmo de la división. Muchos resultados y conceptos relacionados con las ideas de divisibilidad, factorización, número primo, etc. de enteros son comunes a estos anillos.

2. Anillos euclidianos, divisibilidad y el teorema de factorización única.

Definición 1. Un dominio entero R se dice que es un anillo euclidiano si ∀ a≠0 en R está definido un entero no negativo d(a) tal que:

Para cualesquiera a,b ∈R, ambos distintos de cero, d(a)≤d(ab).

Para cualesquiera a,b ∈R, ambos distintos de cero, existen t,r ∈R tales que a=tb+r, donde r=0 o d(r)<d(b).

No asignamos valor alguno a d(0). Los enteros sirven como un ejemplo de anillo euclidiano, donde d(a)= |a|, actúa como la función que la definición requiere.

Teorema 1. Sea R un anillo euclidiano y A un ideal de R. Entonces existe un elemento a_(0 )∈A tal que A consiste exactamente en todos los a_(0 ) x para x∈R cualquiera.

Demostración.

Si A consiste solamente en el elemento 0, para a_0=0 la afirmación del teorema se verifica.

Supongamos que:

A≠(0)

luego que;

∃ a≠0 ϵ A

Como d toma solo valores enteros no negativos, entonces es posible escoger

a_(0 )∈A tal que d(a_0) sea mínimo

Supongamos que

a_(0 )∈A

Por las propiedades de anillos euclidianos;

⟹∃ t,r ∈R / a=ta_0+r donde r=0 o d(r)<d(a_0).

Como a_(0 )∈A y A es ideal de R,

⟹ta_0 ϵ A

Si combinamos esto con que a_ ∈A;

⟹ a-ta_0∈A; pero r=a-ta_0, de donde r_ ∈A

Si r≠0,

⟹d(r)<d(a_0)

⟹'ℶ'〖 a〗_0 ϵ A

⟹r=0 y a=ta_0.

∎

Introducimos la notación (a)={xa/x∈R} para representar al ideal de todos los múltiplos de a.

Definición 2. Un dominio entero R con elemento unidad es un anillo de ideales principales si todo ideal A en R es de la forma A=(a) para algún a∈R.

Una vez que establezcamos que un anillo euclidiano tiene elemento unitario, en virtud del teorema 1, sabremos que un anillo euclidiano es un anillo de ideales principales. Lo recíproco, sin embargo es falso; hay anillos de ideales principales que no son anillos euclidianos.

Corolario 1 al teorema 1. Un anillo euclidiano posee un elemento unitario.

Demostración.

Sea R un anillo euclidiano y como R es ciertamente un ideal de R,

Por el teorema 1.

⟹ R=(u_o) para algún u_0∈R.

Luego ∀c ϵ R es un múltiplo de u_o;

⟹u_o=u_0 c para algún c∈R

Si a∈R,

⟹a=xu_o para algún x∈R

de donde:

ac=(xu_o )c=x(u_0 c)=xu_o=a

⟹c es el elemento unitario.

∴ Un anillo euclidiano posee un elemento unitario.

∎

Definición 3. Si a≠0 y b están en un anillo conmutativo R, entonces a se dice que divide a b si existe un c∈R tal que b=ac. Usaremos el símbolo a|b para representar el hecho de que a divide a b y a∤b para indicar que a no divide a b.

Observación 1:

Si a|b y b|c, entonces a|c

Si a|b y a|c, entonces a|(b±c).

Si a|b entonces a|bx ∀x∈R

Definición 4. Si a,b,c∈R entonces d∈R se dice que es un máximo común divisor de a y b

si:

d|a y d|b.

Siempre que c|a y c|b, entonces c|d.

Usaremos la notación d=(a,b) para indicar que d es un máximo común divisor de a y b.

Lema 1. Sea R un anillo euclidiano. Entonces cualesquiera dos elementos a y b en R tienen un máximo común divisor d. Además d=λa+μb para algunos λ,μ∈R

Demostración.

Sea A={ra+sb:r,s∈R} un ideal de R.

Supongamos que x,y∈A

⇒x=r_1 a+s_1 b y y=r_2 a+s_2 b

⇒x±y=(r_1±r_2 )a+(s_1±s_2)b

Por tanto x±y∈A

Análogamente tenemos para u∈R que

ux=u(r_1 a+s_1 b)

⇒ ux=ur_1 a+〖us〗_1 b

Luego, por asociatividad ux=(ur_1 )a+(us_1 )b

Por tanto ux∈A

Como A es un ideal de R,

⇒∃d∈A tal que todo elemento de A es un múltiplo de d; por teorema 1.

Por el hecho de ser d∈A y ser todos los elementos de A de la forma ra+sb,

⇒d= λa+μb para ciertos λ,μ∈R

Además, como R es un anillo euclidiano posee un elemento unidad 1; por Corolario 1.

Luego,

a=1a+0b∈A y b=0a+1b∈A

Como a y b están en A, ambos son múltiplos de d

⇒d|a y d|b

Ahora supongamos que c|a y c|b; entonces c|λa y c|μb de manera que

c|(λa+μb)

y como d=λa+μb

⇒c|d

∴d=(a,b); a,b∈R

i.e. d es un máximo comun divisor de a,b∈R. ∎

Definición 5. Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad. Un elemento a∈R es una unidad en R si existe un elemento b∈R tal que ab=1.

Observación 2: Una unidad en un anillo es un elemento cuyo inverso está también en el anillo.

Lema 2. Sea R un dominio entero con elemento unitario y supongamos que para a,b∈R se tiene, simultáneamente, que a|b y que b|a. Entonces a=ub donde u es una unidad en R.

Demostración.

Sean a,b∈R, como estamos suponiendo que

a|b ⇒b=xa para algún x∈R

b|a ⇒a=yb para algún y∈R

luego, b=x(yb)

=(xy)b por propiedad asociativa en R

y todos estos son elementos de R, un dominio entero con elemento unitario; entonces de b=(xy)b se sigue que,

1=xy

Por tanto y es una unidad en R y a=yb. ∎

Definición 6. Sea R un anillo conmutativo con elemento unitario. Dos elementos a y b de R se dice que son asociados si b=ua para alguna unidad u de R.

Lema 3. Sea R un anillo euclidiano y a,b∈R . Si b no es una unidad en R entonces

d(a)<d(ab).

Demostración.

Y sea A={xa:x∈R} un ideal de R.

⇒d(a)≤d(xa) para x≠0 ; por Definición 1

Vamos a suponer, además, que a≠0 y b≠0.

Luego el d-valor de a es el mínimo de los d-valores de elementos de A.

Ahora, ab∈A; si d(ab)=d(a), de acuerdo con la demostración que usamos para demostrar el teorema 1, como el d-valor de ab es mínimo en A, todo elemento de A es un múltiplo de ab. En particular, como a∈A, a debe de ser un múltiplo de ab;

luego,

a=abx para algún x∈R

Como todo esto está dentro de un dominio entero, se deduce que

bx=1

Luego, b es una unidad en R . Lo cual contradice b no es una unidad en R.

∴d(a)<d(ab)

...