Binomio De Newton

El binomio de newton se trata de una fórmula general para obtener cualquier potencia de un binomio sin necesidad de desarrollarla. Esto es la forma de obtener (a+b)n

Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)

Por supuesto, se puede realizar sin necesidad de la fórmula anterior, aunque el trabajo es más largo y complejo:

(a + b)4 = (a + b) • (a + b) • (a + b) • (a + b) = (a2 + ab + ba + b2) • (a + b) • (a + b) =...

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Este es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1. Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si queremos calcular:

A través del triángulo de Tartaglia podemos trabajar con el binomio de newton para obtener (a+b)n de la siguente forma:

También se puede escribir de forma abreviada así:

Podemos observar que:

1) El número de términos es n+1.

2) Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplo:

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Desarrollar los binomios:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

...