Binomio De Newton

BINOMIO DE NEWTON I

Introducción al Binomio de Newton

(para exponente entero y positivo Z+)

Teorema

Sean:

Desarrollando los binomios:

….

En forma general:

donde:

x: primer término

a: segundo término

Nota: Los coeficientes de los términos equidistantes son iguales.

Observación:

[

Triángulo de Pascal

Es una disposición o arreglo triangular de números cuyo vértice superior y los lados están formados por la unidad, así mismo a partir de la segunda fila, determina los siguientes elementos comprendidos entre los lados.

(x + a)0

(x + a)1

(x + a)2

(x + a)3

(x + a)4

(x + a)5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

… … ... … … … …

Propiedades

1. El desarrollo del binomio (x + a)n tiene (n + 1) términos:

N° de términos = Exponente + 1

Ejemplo:

P(x;a) = (10x + 3a)5 tiene:

5 + 1 = 6 términos

2. Cálculo del término general (tk + 1 = )???)

Sea: P(x;a) = (x + a)n

a. Contado de izquierda a derecha:

Donde: “tk + 1” es el término de lugar (k + 1)

Ejemplo:

En el desarrollo de: P(x;a) = (x2 + a3)6, determine el tercer término.

Solución:

b. Contado de derecha a izquierda:

Ejemplo:

En el desarrollo de P(x;a) = (x3 + a2)5 determine el término de lugar 4 con respecto al final.

Solución:

3. Término central

a. El desarrollo del binomio tendrá un único término central si “n” es par, luego la posición que ocupa este término es:

Ejemplo:

Determinar el término central del desarrollo de:

Solución:

b. Si “n” es impar existen dos términos centrales.

Ejemplo:

Determinar los términos centrales del desarrollo de:

Solución:

Calculamos el primer término central para: n = 7

Calculamos el segundo término central:

4. La sumatoria de coeficientes al desarrollar el binomio:

, se obtendrá si: x = a = 1

Ejemplo:

Hallar la suma de coeficientes del binomio:

Solución:

Para: x = y = 1

de coeficientes =

Ejemplo:

Dado:

Calcular:

Solución:

Luego:

5. Propiedad adicional:

Ejemplo:

Sumar cada uno:

-

-

Fórmula de Leibnitz

Para obtener el desarrollo de un trinomio con exponente natural usaremos la fórmula de Leibnitz:

Donde:

Además: donde la suma se realiza para todos los valores que pueda tomar

Ejemplo:

Halla el coeficiente de “x5” en el desarrollo de:

(a + bx + Cx2)9

Solución:

El término general del desarrollo es:

Reduciendo:

Donde:

Por condición:

Resolviendo (1) y (2) tomando en cuenta que: “ Las soluciones son:

- Primera solución:

- Segunda solución:

- Tercera solución:

El coeficiente de “x5” se obtiene realizando la suma para los tres trios de valores encontrados “

Finalmente:

PROBLEMAS

01. Calcular el penúltimo término en el desarrollo de:

(3x2 – y3)12

A) 36x2y33 B) –36x2y33 C) 24x3y2

D) –24x3y2 E) –12xy2

02. Si un término del desarrollo de:

es igual a: 3x213. Calcular el valor de “m”

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

03. Si el décimo término del desarrollo de (xb + xc)d es x18, calcular “c + d”.

A) 1 B) 2 C) 9 D) 11 E) 13

04. Calcular el número de términos que tendrá el desarrollo de:

P(x;y) = (x + y2)n

Si se cumple que los término de lugares 4 y 5 tienen el mismo coeficiente.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

05. Señale el término central de:

A) 70x4 B) –70x C) 70x2

D) –70 E) 70

06. Hallar el término independiente en el desarrollo de:

A) B) C)

D) E)

07. Calcular el cuarto término de:

...