BINOMIO DE NEWTON 1664

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epístola prior de Junio de 1676 y la Epístola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz.

Se trata de la primera de las dos cartas que newton hizo llegar a Leibniz a través del secretario de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. En esta carta, llamada Epístola Prior, Newton expone, como hemos dicho, su teorema binomial y otros resultados sobre series, contestando a unas preguntas previas a un pedido del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas; donde Newton aseguraba haber descubierto no solo un método para reducir cualquier cantidad a tales series, sino también formas abreviadas, no obstante newton decide enviar el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo.

Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y denomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz. Newton responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios.

[pic 1]

Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un binomio usando para esto números combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede formular la potencia que se requiere como la suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia. Vamos entonces a teorizar la fórmula que nos dejará elevar a una potencia cualquiera de exponente natural, n, un binomio. Con este modo se puede obtener que para esto, vamos a ver cómo se desarrollan o las potencias de (a+b).

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 +b6

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia):

[pic 2]

Binomio de Newton:

El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. La fórmula general del binomio de Newton dice:

[pic 3]

Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.

Por ejemplo:

En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma + − + − + −…).[pic 4]

La segunda carta de Newton a Leibniz revela de la antigua burla e indignación por Leibniz apropiación de su trabajo. La carta continúa para demostrar el dominio de Newton de los temas a la mano, serie y consejos en el problema de las tangentes, o la diferenciación. En la apertura de la carta, Newton aplaude condescendientemente "descubrimiento" de Leibniz de un "método para la obtención de series convergentes" y luego señala que él mismo había comprendido y estudiado varios de estos métodos, el más famoso de los cuales todavía se conoce como el método de Newton para encontrar las raíces de una función.

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