CORRECCION DE LA PRIMERA PRUEBA DE CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA

CORRECCION DE LA PRIMERA PRUEBA DE CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA

1.- Encuentre el conjunto solución de la siguiente inecuación y entregue el resultado en notación de intervalo:

[pic 1]

Solución:

[pic 2]

Valores críticos: -8, -1, 0, 2

           -oo    -8    -1      0       2     +oo

Como la inecuación es menor o igual a cero, la solución es: [-8,-1) U [0, 2)

(-1 y 2 son valores que hacen 0 el denominador)

2.-  Usando el Principio de Inducción Matemática, demuestre que la siguiente fórmula es válida  para todo n en IN:

6 + 10 + 14 + ... + (4n+2) = 2n(n+2)

Solución:

               Lo demostramos para n = 1       6 = 2(1+2) = 6 Verdadero

  Lo suponemos verdadero para  un n cualquiera n = k

6 + 10 + 14 + ... + (4k + 2) = 2k(k+2)

Lo demostramos para n = k + 1

6 + 10 + 14 + ... + (4k +6) = (2k+2)(k+3)

Demostración:

6 + 10 + 14 + ... + (4k + 6) = 6 + 10 + 14 + ... + (4k + 2) + (4k + 6)

= 2k (k+2) + 4k + 6 = 2k2 + 8k + 6 = (2k + 2)(k + 3)

Por lo tanto, la fórmula se cumple para todo n en IN.

3.- Encontrar una  ecuación para  la circunferencia  cuyo centro es el vértice de la parábola  y2 – 4x + 8y + 4 = 0 y cuyo radio, es la longitud de la cuerda de la parábola que está sobre la recta  x+2 = 0.

Solución.

y2 – 4x + 8y + 4 = 0

(y2  + 8y  + 16) = 4x – 4 + 16

(y + 4)2   = 4(x + 3)        V(-3, - 4)  y  el centro de la circunferencia es C(-3,- 4)

para x = -2,         y2 – 4x + 8y + 4 = y2 +8 + 8y + 4

                                y2  + 8y + 12 = 0  

                           (y + 2)(y + 6) = 0  de donde   y = -2    ,    y = -6

entonces, los extremos de la cuerda son los puntos  (-2, -2) y (-2, -6)

y el largo de la cuerda es 4 (radio de la circunferencia)

De donde  la ecuación de la circunferencia es: (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16

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