Geometria Analitica

Investigación 8 Ecuación General de Segundo Grado

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

La ecuación general de segundo grado en dos variables se define como:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

y puede representar una cónica del género parábola, elipse o hipérbola, según el indicador:

I = B2 - 4AC

según sea cero, negativo o positivo respectivamente.

Esto puede resumirse en la siguiente tabla:

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

PARÁBOLA ELIPSE HIPÉRBOLA

INDICADOR

I = B2 - 4AC I = 0 I < 0 I > 0

EXCENTRICIDAD

e e = 1 e < 1 e > 1

TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

Los ejes coordenados fueron concebidos como una herramienta que sirve para poder representar puntos y curvas en un plano. Sin embargo, existen lugares geométricos cuya naturaleza requiere de cambios en los ejes y se necesitan representar mediante una traslación, de una rotación o de una combinación de ambas.

En la ecuación general de segundo grado Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, los términos D y E determinan si está o no trasladada la cónica.

Una traslación implica que el lugar geométrico conserva su misma forma pero de forma paralela a los ejes coordenados, es decir, produce un nuevo conjunto de ejes paralelos a los originales. En ese sentido se cumple que:

• Si D ≠ 0 y E ≠ 0 significa que está en cualquier punto del plano.

• Si D = 0 significa que está sobre el eje y.

• Si E = 0 significa que está sobre el eje x.

• Si D = E = 0 significa que está en el origen.

En una rotación, la forma del lugar geométrico no se altera, sin embargo, su posición respecto a los ejes coordenados no es paralela. Si en la ecuación general de segundo grado, se cumple que B ≠ 0, se tiene una rotación de los ejes x y y en donde su origen permanece fijo y ambos giran alrededor de éste un cierto ángulo.

En este sentido, el término Bxy implica que la cónica está rotada con respecto a los ejes coordenados. Considerando lo anterior, si B = 0, la cónica es paralela o coincidente a los ejes x y y.

DEFINICIÓN DE CÓNICA

Dada una recta fija L y un punto fijo F no contenido en esa recta, se llamacónica al lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano, de tal manera que la razón de su distancia de F a su distancia de L es siempre igual a una constante positiva.

La recta L se llama directriz, el punto F, foco y la constante positiva,excentricidad de la cónica (e):

Cuando e = 1, la definición anterior corresponde a una PARÁBOLA

Cuando e < 1, la definición anterior corresponde a una ELIPSE

Cuando e > 1,

...