Geometría Analítica

GEOMETRIA ANALITICA

25/SEP/13

m= pendiente de la Recta

b= Ordenada en el origen

y=mx+b Se conoce la pendente y la ordenadaenel origen.

Ax+By+C= 0 Ec.general de la recta

x/a+ y/b=1 Ecuacion Simétrica de la recta

y-y1=m(x-x1) Se conoce un punto y la pendiente.

Xcos∅+y Sen ∅=1 Ecuacion Trigonométrica

Ejemplo: Hallar la pendiente suponiendo que las coordenadas son (4,5) y encontrar su ángulo correspondiente.

m=tan⁡〖∅ → m=5/4〗

tan⁡〖∅= 5/4〗

∅=tan^1⁡〖5/4〗

∅=51.34°

Encontrar el valor de a.

Y= 3x+ 2 M=3 m=a/b

Sustituyendo los valores:

3=2/a Despejamos a → a=2/3

2x+3y=5

Despejamos el valor de y:

3y=-2x+5 → y= (-2)/3 x+ 5/3

m=(-2)/3 m=a/b

Sustituyendo los valores tenemos:

2/3=(5/3)/a Despejamos para encontrar el valor de a → a=□((5/(3 ))/(2/3)) ≈a=15/6

y= 2/5 x+ 2

m=2/5 m=a/b Sustituyendo los valores: 2/5=2/a → a=□(2/(2/5)) ≈a=10

30/Sep/13

Ecuación de la recta en forma simétrica

La ecuación de la recta que corta los ejes coordenados en los puntos (a,0) y (0,b) es:

x/a+y/b=1

a= abscisa en el origen

b= Ordenada en el origen.

Ecuación de la recta en forma normal

Dada una recta L, tracemos a partir del origen de un sistemas de coordenadas otra recta perpendicular a ella, llamémosla Normal y representémosla con la letra N.

Sea el punto P´ (X1, Y1) donde se intersectan ambas rectas. Consideremos que P es la longitud del segmento de la recta OP´ y ∅ el ángulo que se genera al girar dicho segmento alrededor del origen.

y sen∅+x cos∅=P

y-y1=m(x-x1)→Ec.1

m2-mn=-1

mn=y1/x1

m2=-x1/y1

x1=P cos∅

y1=P sen∅

m2=(Pcos∅)/(P sen∅)

m2=(cos∅)/(sen∅)

Sustituyendo m2, X1, y Y1 en Ec. 1

y-P sen∅=-(cos∅)/(sen∅) (x-Pcos ∅)

y sen∅-P sen^2∅= -〖cos⁡〖∅ x+P cos〗〗^2∅

y sen∅-cos∅ x= P sen^2∅+cos2

02/10/13

Hallar la ecuación de la recta en forma normal de la siguiente ecuación: 3x+4y-5=0.

Encontrar ø, P, y P1 de su recta normal.

3x+4y-5=0 ∴4y=-3x+5 ∴y=-3/4+5/4

si y=0 ∴3x=5 ∴x=5/3

si x=0 ∴4y=5 ∴y= 5/4

m=-3/4 →sustituimos-3/4=(5/4)/a ∴a=(5/4)/(3/4)=5/3 →a=5/3 ≈a=1.66

(0.0),m=4/3 sustituimos los valores en la fórmula y-y1=m(x-x1)

y-0=4/3 (x-0)∴y=4/3 x →3y=4x ∴0=4x-3y

(3) 3x+4y-5=0 →Ec.1

(3) 4x-3y =0

9x+12y-15=0

12x-12y =0

25x -15=0

x=15/25≈x=0.6

sustituyendo x=15/25 en ec.1

3[15/25]+4y-5=0 ∴4y=5-[45/25] ∴4y=80/25 →x=(80/25)/4 ∴y=80/10=0.8 ≈y=0.8

P1=(0.6,0.8)

b=√(〖5/4〗^2+〖5/3〗^2 ) ∴b=25/12

cos⁡〖α=(5/3)/(25/12)=4/5〗 ∴cos⁡α=4/5

sen α= (5/4)/(25/12)=3/5 ∴sen α=3/5

tan⁡〖α=(5/4)/(5/3)〗=3/4 ∴tan⁡〖α=3/4〗

sen α=p/(5/3) ∴p=5/3 sen α →sustituimos sen α=3/5

p=[5/3] [3/5] →P=1

sen θ=(4/3)/(5/3)=3/5 ∴θ=sin^(-1)⁡[3/5]≈θ=36.86°

〖 cos〗⁡〖θ=1/(5/3)〗=3/5 ∴cos^(-1)⁡[3/5]≈ θ=53.13

θ=180°-90°-36.86° ∴θ=53.13°

04/10/13

Determinar el área y las coordenadas de sus vértices de un rectángulo si se sabe que:

a) su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas.

b) una de las diagonales está sobre la recta de ecuación 3y=4x y tiene de longitud 10 unidades.

c) uno de sus lados está contenido en una recta de pendiente -2.

a)

b)3y=4x ≈y= 4/3 x+0 →m=tan⁡θ ∴tan⁡〖θ=(cat.op.)/(cat.ady.) 〗 → tanθ=4/3

A(3,4)

c= √(4^2+3^2 ) ≈c=√25 ∴c=5

c) m1-m3=1 → sustituiimos m1=-2 ↔ (-2)∙m3=-1 ∴m3= 1/2

Recta L1 {█((3,4)@m1=-2)┤,Recta L2{█((-3,-4)@m2=-2)┤ ,Recta L3{█((3,4)@m3=1/2)┤ ,Recta L4{█((-3,-4)@m4=1/2)┤

07/10/13

Geometría Analítica

tanα= (m2.m1)/(1+m2∙m1)

donde m1∙m2 ≠1

07/10/13

Encontrar los ángulos

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