Geometria Analitica

MARCO TEORICO

En este caso esta investigación esta dirigida a los poliedros por lo que hare un recuento y explicaciones del tema.

Figuras y cuerpos geométricos

Un cuerpo geométrico es una figura de tres dimensiones. Hay dos grandes tipos de cuerpos geométricos:

Poliedros: Limitadas por caras planas poligonales.

Cuerpos de revolución: resultan al girar una figura plana alrededor de un eje.

En un cuerpo geométrico podemos distinguir:

Vértices: puntos.

Aristas: rectas.

Caras: planos.

POLIEDROS

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos.

Llamamos:

 Caras del poliedro a los polígonos que lo forman.

 Aristas del poliedro a los lados de las caras: Cada arista se junta con dos caras.

 Vértices del poliedro a los vértices de las caras. En cada vértice concurren tres o más caras.

 Ángulos diedros: Están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

 Ángulos poliédricos: Están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

 Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

En cualquier poliedro se verifica la fórmula de Euler

C + V = A + 2

C: Caras

V: Vértices

A: Aristas

Un poliedro es un sólido de caras planas para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.

Tipos de poliedros:

Convexo: Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semi espacio respecto al plano de cada una de sus caras, es decir, al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro.

Cóncavo: Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura, o sea, existe alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro.

Poliedros regulares:

Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además en cada vértice se une el mismo número de caras. Únicamente existen cinco poliedros regulares convexos, puesto que las sumas de las caras de un Angulo poliedro tiene que ser <360º

Tetraedro Numero de caras Desarrollo Área Volumen

4 caras que son triángulos

Concepto Ejercicio

Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.

Es una pirámide triangular regular Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

Cubo Numero de caras Desarrollo del cubo

Área Volumen

6 caras que son cuadrados

Concepto Diagonal del cubo Ejercicio

Un cubo o hexaedro es un poliedro regular formado por 6 cuadrados iguales.

Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

Octaedro Numero de caras Desarrollo del octaedro Área Volumen

8 caras que son triángulos

Concepto Ejercicios

Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales.

Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

Dodecaedro Numero de caras Desarrollo Área Volumen

12 caras que son pentágonos

Concepto Ejercicio

Un dodecaedro regular es un poliedro regular formado por 12 pentágonos regulares iguales. Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

Icosaedro Numero de caras Desarrollo Área Volumen

20 caras que son triángulos

Concepto Ejercicio

Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos

Equiláteros iguales.

Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

Otros poliedros importantes son:

• Paralelepípedo

• Prisma

• Pirámide

Paralelepípedo

Paralelepípedo

Concepto

Es un prisma de seis caras, cuyas bases son paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos

Área lateral

Área Total

Volumen

Ejercicio

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

Tipos de paralelepípedos

• Un paralelepípedo recto es aquel que tiene al menos alguna de sus aristas perpendicular a un par de caras. Es a su vez un prisma cuyas bases son paralelogramos.

• Un paralelepípedo oblicuo es aquel en el que ninguna de las aristas es perpendicular a las caras.

Casos particulares

• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.

• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos es un romboedro.

• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro o cubo

Prisma

Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados base, y varios paralelogramos, llamados caras laterales. La distancia entre las bases se llama altura del prisma.

Si todas las caras laterales son rectángulos, el prisma es recto.

Si alguna cara lateral no es rectángulo, el prisma es oblicuo. Se nombra también con el polígono de la base: prisma pentagonal

Prisma Desarrollo

Concepto Un prisma es un poliedro que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

Elementos Altura de un prisma es la distancia entre las bases. Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.

Perímetro de la base

Area lateral

Área total

Volumen

Ejercicio

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de diagonales 12 y 18 cm.

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