La Geometria Analitica

Objetivo: Ayudar al estudiante de bachillerato a adquirir las competencias necesarias en el área de la geometría analítica.

Dirigido a: Alumnos de bachillerato cursando el tercer semestre o personas interesadas en la geometría analítica d nivel bachillerato.

A continuación describiremos los temas a tratar en la primera unidad explicando cada uno al final del índice de contenidos de la primera unidad.

Índice de contenidos temáticos

Primera unidad

La recta

1.- Geometría analítica

1.1.- Conceptos básicos

1.1.1.- Geometría analítica

1.1.2.- plano cartesiano

1.1.3.- Coordenadas de un punto

1.2.- Distancia entre dos puntos

1.2.1.- El punto medio

1.3.- Pendiente de recta

1.4.- Obtención de la ecuación de la recta

1.4.1.- A partir de un punto y la pendiente

1.4.2.- A partir de dos puntos

1.4.3.- Tabulación y graficación

1.5.- Paralelismo y perpendicularidad

1.6.- Distancia entre un punto y una recta

1.7.- Área de un polígono

Desarrollo de temas

Geometría analítica es el estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y delálgebra en un determinado sistema de coordenadas.

El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

En la figura siguiente figura tenemos un plano cartesiano bidimensional en el cual se localizan 4 puntos.

A continuación tenemos una imagen de Rene Descartes quien es considerado el padre de la geometría analítica.

René Descartes1 (La Haye en Touraine;2 31 de marzo de 1596 – Estocolmo, 11 de febrero de1650) fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la filosofía moderna, así como uno de los nombres más destacados de la revolución científica. Formuló el célebre cogito ergo sum, elemento esencial del racionalismo occidental. En física está considerado como el creador del mecanicismo, y en matemáticas, de la geometría analítica. No obstante parte de sus teorías han sido rebatidas - teoría del animal-máquina - o incluso abandonadas - teoría de los vórtices. Su pensamiento pudo aproximarse a la pintura de Poussin3por su estilo claro y ordenado.

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes y estos se numeran en contra sentido de las manecillas del reloj, siendo el primer cuadrante el de la derecha superior (cuadrante I), el segundo (cuadrante II), el tercero (cuadrante III) y el cuarto (cuadrante IV) a continuación una ilustración.

Coordenadas de un punto

Los puntos están expresados en letras mayúsculas y sus coordenadas se escriben en el siguiente orden: Punto A (x,y) es decir la primera cantidad representa las abscisas y la segunda a las ordenadas. y se ubican de la siguiente manera la primer cantidad se busca en la recta horizontal y la segunda en la recta vertical el punto se ubica en el cruce de ambas lineas como se aprecia en la imagen.

Distancia entre dos puntos

Para entender este tema debemos de aclarar que la distancia puede ser distancia horizontal, distancia vertical y distancia con pendiente. Primero explicaremos en una recta como se obtiene la distancia en una sola dimensión utilizando la recta numérica:

Formula: DH = (X2 -X1) si solo si X2 > X1

Respetando que: - a < 0 < a o sea cualquier cantidad negativa es menor que cero y cero es menor que cualquier cantidad positiva.

Por lo tanto X2 será 2 y X1 será -3 entonces la ecuación se expresa así:

DH = (X2 -X1) DH = [ 2 – (- 3) ] DH = ( 2 + 3 ) DH = 5

DH = distancia horizontal

Y para el caso de la distancia vertical será:

Formula: DV = (Y2 -Y1) si solo si Y2 > Y1

ejemplo:

Por lo tanto Y2 será 1 y Y1 será -2 entonces la ecuación se expresa así:

DV = (Y2 -Y1) DV = [ 1 – (- 2) ] DV = ( 1 + 2 ) DV = 3

DV = distancia vertical

"Distancia con pendiente"

para el estudio de la distancia entre dos puntos haremos un comparativo entre la formula y el teorema de Pitágoras:

para identificar un segmento de recta se la designaran los puntos que lo formen ejemplo:

Formula para calcular la distancia entre dos puntos:

AB² = (X2 -X1)² + (Y2 -Y1)²

Teorema de Pitágoras:

h ² = a² + b²

Haciendo un comparativo:

Tenemos que: AB² = h² es la distancia con pendiente (inclinada)

(X2 -X1)² = a² es la distancia horizontal

(Y2 -Y1)² = b² es la distancia vertical

Identificando los puntos:

El punto "A" sera A (3,1); El punto "B" sera B (-1,-3); El punto "C" sera C (3,-3).

La distancia que calcularemos sera la "AB" para ello elegiremos el punto mayor

el cual sera el que tenga la "Y" mayor en este caso sera el punto "A" al cual consideraremos como A ( X2, Y2 ) y B (X1 -Y1) entonces sustituyendo en la formula:

AB² = (X2 -X1)² + (Y2 -Y1)²

AB² = (3 -(-1))² + (1 -(-3))²

AB² = (3 +1)² + (1 +3)²

AB² = (4)² + (4)²

AB² = 16 + 16

AB² = 32

AB = 5.65

"El punto medio"

Es la mitad de la distancia entre dos puntos y esto se calcula de la siguiente manera:

X = (X2 + X1) / 2 y Y = (Y2 + Y1) / 2

Aplicando

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