La Geometria Analitica

LA GEOMETRIA ANALITICA.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x)=y, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x+6y=0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x^2 + y^2 = 4, la hipérbola xy = 1), etc.

Coordenadas celestes.

Las coordenadas celestes son el conjunto de valores que, de acuerdo con un determinado sistema de referencia, dan la posición de un objeto en la esfera celeste. Existen diversas coordenadas celestes según cuál sea su origen y plano de referencia. Una primera clasificación, en dos grandes grupos, atiende si se trata de coordenadas cartesianas o coordenadas esféricas.

egún el sistema de coordenadas[editar • editar fuente]

Sistemas basados en coordenadas cartesianas[editar • editar fuente]

En las coordenadas rectangulares o cartesianas se toman tres ejes —x, y, z— perpendiculares entre sí, y que se cruzan en un punto origen que puede ser el Sol (Coordenadas heliocéntricas) o la Tierra (Coordenadas geocéntricas). Por ejemplo un punto P (x,y,z).

Se emplean en algunos casos para el Sistema Solar.

Su unidad es la Unidad Astronómica UA o también el km.

Sistemas basados en coordenadas esféricas[editar • editar fuente]

Horizontal coordinate system 2.png

Las coordenadas esféricas empleadas para superficies esféricas -la esfera celeste, la superficie de un planeta

Para situar un punto necesita dos ángulos y una distancia.

Por ejemplo un punto P(r,\Phi,\theta) que forma un ángulo \Phi con el eje X y un ángulo \theta con el eje Z, se relaciona con las coordenadas cartesianas mediante:

x=r \cos \phi \sen \theta \,

y=r \sen \phi \sen \theta \,

z=r \cos \theta \,

La mayor parte de coordenadas celestes son coordenadas esféricas.

Coordenadas geográficas.

Las coordenadas geográficas son un sistema de referencia que utiliza las dos coordenadas angulares, latitud (Norte y Sur) y longitud (Este y Oeste) y sirve para determinar los ángulos laterales de la superficie terrestre (o en general de un círculo o un esferoide). Estas dos coordenadas angulares medidas desde el centro de la Tierra son de un sistema de coordenadas esféricas que están alineadas con su eje de un sistema de coordenadas geográficas incluye un datum, meridiano principal y unidad angular. Estas coordenadas se suelen expresar en grados sexagesimales:

La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el ecuador. Las líneas de latitud se denominan paralelos. La latitud es el ángulo que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el meridiano que pasa por dicho punto. La distancia en km a la que equivale un grado de dichos meridianos depende de la latitud, a medida que la latitud aumenta disminuyen los kilómetros por grado. Para el paralelo del ecuador, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.075,004 km, 1º equivale a 111,319 km.1

La latitud se suele expresar en grados sexagesimales.

Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud.

Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominación Norte (N).

Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominación Sur (S).

Se mide de 0º a 90º.

Al Ecuador le corresponde la latitud 0º.

Los polos Norte y Sur tienen latitud 90º N y 90º S respectivamente.

La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador desde cualquier punto de la Tierra. Se acepta que Greenwich en Londres es la longitud 0 en la mayoría de las sociedades modernas. Las líneas de longitud son círculos máximos que pasan por los polos y se llaman meridianos.2 Para los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40.007 km de longitud, 1º de dicha circunferencia equivale a 111,131 km.

Combinando estos dos ángulos, se puede expresar la posición de cualquier punto de la superficie de la Tierra. Por ejemplo, Baltimore, Maryland (en los Estados Unidos), tiene latitud 39,3 grados norte, y longitud 76,6 grados oeste. Así un vector dibujado desde el centro de la tierra al punto 39,3 grados norte del ecuador y 76,6 grados al oeste de Greenwich pasará por Baltimore.

La insolación terrestre depende de la latitud. Dada la distancia que nos separa del Sol, los rayos luminosos que llegan hasta nosotros son prácticamente paralelos. La inclinación con que estos rayos inciden sobre la superficie de la Tierra es, pues, variable según la latitud. En la zona intertropical, a mediodía, caen casi verticales, mientras que inciden tanto más inclinados cuanto más se asciende en latitud, es decir cuanto más nos acercamos a los Polos. Así se explica el contraste entre las regiones polares, muy frías y las tropicales, muy cálidas.3

El ecuador es un elemento importante de este sistema de coordenadas; representa el cero de los ángulos de latitud y el punto medio entre los polos. Es el plano fundamental del sistema de coordenadas geográficas.

Posición absoluta: se determina a través de las coordenadas geográficas (latitud y longitud).

Posición relativa: permite localizar distintos espacios territoriales a partir de tomar otro espacio territorial como referencia.

Coordenadas espaciales.

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales

...