Calculo Superior

Tablas de verdad

La construcci´on de la l´ogica se realiza mediante proposiciones. Una proposici

´on es una sentencia declarativa la cual puede ser verdadera o falsa, pero

no ambas al mismo tiempo, por ejemplo, “2 es mayor que 3”y “todos los

tri´angulos equil´ateros son equiangulares”son proposiciones, mientras que “x <

3”y “esta afirmaci´on es falsa”no lo son (la primera de estas es una sentencia

declarativa pero no se le puede asignar un valor de verdad hasta que se

conozca lo que “x”representa; por otro lado, no es posible asignarle un valor

verdad a la segunda).

Denotaremos las proposiciones por letras min´usculas : p, q, r, s, etc. En

cualquier discusi´on dada, diferentes letras pueden o no representar diferentes

proposiciones, pero una letra que aparezca m´as de una vez en una discusi´on

representa siempre la misma proposici´on. A una proposici´on verdadera co -

responde el valor de verdad V (verdadero) y a una proposici´on falsa un valor

de verdad F (falso). As´ı, “2 + 3 < 7”tiene un valor de verdad V , mientras

que “2 + 3 = 7”tiene un valor de verdad F.

5

6 CAP´ITULO 1. L ´ OGICA

Nos interesa combinar proposiciones simples (o subproposiciones) para

construir proposiciones m´as complicadas (o proposiciones compuestas). Se

combinan proposiciones con conectivos que, entre otros, son “ y ”, “ o ”e “

implica ”.

Si p, q son dos proposiciones, entonces “p y q”es tambi´en una proposici´on

llamada la conjunci´on de p y q, y denotada por

p ^ q:

El valor de verdad de p ^ q depende de los valores de verdad de las proposiciones

p y q : p ^ q es verdadera cuando p y q son ambas verdaderas, de otra

manera es falsa. Notar que este es el significado usual que se asigna a “y”

Una manera conveniente de describir lo anterior es por una tabla de verdad.

Como cada una de las proposiciones p, q tiene dos valores posibles de

verdad, juntas ellas tienen 2 £ 2 = 4 posibles valores de verdad de manera

que la siguiente tabla combina todas las posibilidades :

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

La tabla anterior se considera tambi´en como la definici´on del conectivo ^.

Notar que la tabla anterior no tiene nada que ver con p y q; estos ´ultimos

son s´olo variables, en la misma forma que tiene el rol de x en la notaci´on

funcional f(x) = 2x ¡ 3.

Para mejor comprensi´on de este punto se propone el siguiente :

Ejercicio : Se define el conectivo ? como p ? q es verdadero s´olo cuando

q es verdadero y p es falso, y es falso de otra forma.

1.1. TABLAS DE VERDAD 7

a) Escribir la tabla de verdad de p ? q.

b) Escribir la tabla de verdad de q ? p.

Otro conectivo com´un es “o”, llamado tambi´en disjunci´on. La disjunci´on

de p y q denotada por

p _ q;

es verdadera cuando al menos uno de p, q es verdadero. Este es llamado el

“o inclusivo ”. Observemos que en la conversaci´on habitual se usa a menudo

“o”en el sentido exclusivo, esto es, v´alido s´olo cuando exactamente una de las

subproposiciones es verdadera. Por ejemplo, la verdad de “cuando me llames

estar´e en el dormitorio o paseando al perro”no incluye usualmente ambas

posibilidades. En matem´atica se usa siempre el “o”en el sentido inclusivo y

su tabla de verdad es la siguiente :

p q p _ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Dada cualquier proposici´on p, se puede formar una nueva proposici´on con el

valor de verdad opuesto, llamado la negaci´on de p, que se denota por

:p:

Tambi´en se lee :“no p”. La tabla de verdad es

p : p

V F

F V

8 CAP´ITULO 1. L ´ OGICA

Ejemplos

a) 3 + 5 > 7.

b) No es el caso que 3 + 5 > 7.

c) 3 + 5 · 7.

d) x2 ¡ 3x + 2 = 0 no es una ecuaci´on cuadr´atica.

e) No es verdad que x2 ¡ 3x + 2 = 0 no es una ecuaci´on cuadr´atica.

f) x2 ¡ 3x + 2 = 0 es una ecuaci´on cuadr´atica.

Observemos que (b) y (c) son negaciones de (a); (e) y (f) son negaciones de

(d). Sin embargo, (c) y (f) se prefieren sobre (b) y (e) respectivamente.

Se usar´a la misma convenci´on para : que como para ¡ en ´algebra, esto

es, se aplica s´olo al s´ımbolo siguiente, que en nuestro caso representa una

proposici´on. As´ı :p_q significa (:p)_q en vez de :(p_q), tal como ¡3+4

representa 1 y no ¡7.

La convenci´on anterior no es siempre f´acil de entender en el lenguaje

habitual. Supongamos que p representa “2+2 = 4”y q representa “3+2 < 4

”. Entonces “No es el caso que 2 + 2 = 4 ´o 3 + 2 < 4”¿significa :(p _ q) o

(:p) _ q ?

Si adoptamos la primera forma entonces ¿C´omo escribimos la segunda

en palabras? Adoptaremos la siguiente convenci´on: la frase “no es el caso

que ”(o cualquier otra similar como “es falso que”) se aplica a todo lo que

sigue, salvo por alg´un tipo de puntuaci´on gramatical. As´ı “ no es el caso que

2 + 2 = 4 ´o 3 + 2 < 4”significa :(p _ q), mientras que “no es el caso que

2 + 2 = 4, o 3 + 2 < 4”significa :p _ q.

Las tablas de verdad se pueden utilizar para expresar los posibles valores

de verdad de proposiciones compuestas. Por ejemplo, construyamos la tabla

1.2. IMPLICACI ´ON Y BICONDICIONAL 9

de verdad para :(p _ :q) :

p q : q p_: q :(p_: q)

V V F V F

V F V V F

F V F F V

F F V V F

Ejercicio : Construir las tablas de verdad para

a) :p _ q.

b) :p ^ p.

c) (:p _ q) ^ r.

d) :(p ^ q).

e) :p ^ :q.

f) :p _ :q.

g) p _ :p.

h) :(:p).

1.2 Implicaci´on y Bicondicional

Si escribimos las tablas de verdad de :(p^q) y :p_:q (Ejercicio (d) y (f) de la

secci´on anterior) y las comparamos, notaremos que estas dos proposiciones

tienen el mismo valor de verdad de manera que, en alg´un sentido, son lo

mismo. Este es un concepto importante que requiere una definici´on.

Definici´on 1 Suponga que dos proposiciones p, q tienen la misma tabla de

verdad. Entonces diremos que p y q son l´ogicamente equivalentes, lo cual se

denotar´a

p () q:

10 CAP´ITULO 1. L ´ OGICA

B´asicamente, cuando dos proposiciones

...