Calculo Diferencial

TRABAJO COLABORATIVO No. 2

TALLER: FASE 1

Resuelva los siguientes límites:

1.

〖lim〗┬(n→-1) (√(5+n)-2)/(n+1)

Solución:

lim┬(n→-1) (√(5+1)-2)/(1+1) = 0/0 indeterminación,luego:

Multiplicación por conjugado lim┬(n→-1) (√(5+n)-2)/(n+1).(√(5+n)+2)/(√(5+n)+2)

lim┬(n→-1) (5+n-4)/((n+1)(√(5+n)+2))

lim┬(n→-1) (5+(-1)-4)/((1+1)(√(5+1)+2)) lim┬(n→-1) 1/((√4+2)) lim┬(n→-1) 1/4 por tanto:

lim┬(n→-1) (√(5+n)-2)/(n+1)=1/4

2.

〖lim〗┬(a→Π) 2Cos2a-4Sen3a

Solución:

lim┬(a→Π) 2Cos2π - 4Sen3π

lim┬(a→Π) 2Cos2π - 4Sen3π

3.

〖lim〗┬(x→1) √(x^2+3x)- √(x^2+x)

Solución:

lim┬(x→1) √(1^2+3(1))- √(1^2+1)

lim┬(x→1) √4- √2

lim┬(x→1) 2-√2 luego

lim┬(x→1) √(x^2+3x)- √(x^2+x)=2-√2

Demuestre que:

4.

〖lim〗┬(h→b) (〖(├ b+h)〗^2-b²)/h=3b

Solución:

lim┬(h→b) ((├ b²+2bh+h²)-b²)/h=3b

lim┬(h→b) (├ b²+2bh+h²┤-b²)/h=3b

lim┬(h→b) ├ 2bh+h²┤/h=3b

lim┬(h→b) ├ 2bh┤/h+├ h²┤/h=3b

lim┬(h→b) 2b+h=3b

lim┬(h→b) 2b+b=3b

lim┬(h→b) 3b=3b

5.

〖lim〗┬(h→0) (〖(├ x+h)〗^3-x³)/h=3x²

Solución:

lim┬(h→0) (〖(├ x³+3x²h+3xh²+h³)〗^3-x³)/h=3x²

lim┬(h→0) ├ 3x²h+3xh²+h³┤/h=3x²

lim┬(h→0) ├ 3x²h┤/h+(3xh^2)/h+h³/h=3x²

lim┬(h→0) ├ 3x²h┤/h+(3xh^2)/h+h²=3x²

lim┬(h→0) 3x²+3xh+h²=3x²

lim┬(h→0) 3x²+3x(0)+(0)²=3x²

lim┬(h→0) 3x²=3x²

FASE 2

Demuestre los siguientes límites infinitos.

6.

〖lim〗┬(a→∞) { (a^2+1)/(a+2)- (a^2+10)/(a+1)}=-1

Solución:

lim┬(a→∞) { (〖(a+1)(a〗^2+1)-(a+2)(a^2+10))/((a+2)(a+1))}=-1

lim┬(a→∞) { (a³+a+a²+1-(a³+10a+2a²+20))/(a²+a+2a+2)}=-1

lim┬(a→∞) { (a³+a+a²+1-a³+10a+2a²+20)/(a²+a+2a+2)}=-1

lim┬(a→∞) { (-a²-9a-19)/(a²+3a+2)}=-1

lim┬(a→∞) { (-a^2/a^2 -9a/a^2 -19/a^2 )/(a^2/a^2 +3a/a^2 +2/a^2 )}=-1

lim┬(a→∞) { (-1-9/a-19/a^2 )/(1+3/a+2/a^2 )}=-1

lim┬(a→∞) { (-1-0-0)/(1+0+0)}=-1

lim┬(a→∞) { (-1)/1}=-1

lim┬(a→∞)-1=-1

7.

〖lim〗┬(x→∞) √(x^2+x)-x=1/2

Solución:

lim┬(x→∞) (√(x^2+x)-x)(√(x^2+x)+x)/((√(x^2+x)+x) )

lim┬(x→∞) (x²+x-x²)/(√(x^2+x)+x)

lim┬(x→∞) x/(√(x^2+x)+x)

lim┬(x→∞) x/(√(x^2 (1+1/x) )+x)

lim┬(x→∞) x/(x√(1+1/x)+x)= lim┬(x→∞) (x/x)/(x/x √(1/x+1/(x/x))+x/x)= lim┬(x→∞) 1/(1√(1/x+1/x²)+1)

lim┬(x→∞) 1/(1√(1/x+1/x²)+1)=1/((1√1+1)=1/2

D. Límites trigonométricos. Demuestre que:

8.

〖lim〗┬(u→0) (Sen^2 (u/2))/u²=1/4

Solución

lim┬(u→0) Sen(u/2)/u.Sen(u/2)/u

lim┬(u→0) Sen(u/2)/2(u/2) .Sen(u/2)/2(u/2)

1/2 lim┬(u→0) Sen(u/2)/(u/2).1/2 lim┬(u→0) Sen(u/2)/(u/2)

1/2 (1) 1/2 (1)=(1/2)(1/2)=1/4

9. 〖lim〗┬(x→0) tan2x/sen4x=1/2

Solución:

Por la regla de L’Hopital

lim┬(x→0) ((tan2x)')/((sen4x)')

Cambio de variable

s(x)=tan2x

t(x)=sen4x

lim┬(x→0) (s(x))/(t(x)) = lim┬(x→0) (s'(x))/(t'(x))

Derivadas d/dx tan2x=2/(cos^2 x)

d/dx sen4x=4cos4x

lim┬(x→0) tan2x/sen4x=lim┬(x→0) (2/(cos^2 x))/4cos4x=lim┬(x→0) 2/(cos^2 x)4cos4x=lim┬(x→0) 1/(cos^2 x)2cos4x

lim┬(x→0) 1/(cos^2 (0)2cos⁡(0)) = lim┬(x→0) 1/1.2 = lim┬(x→0) 1/2

10. 〖lim〗┬(θ→0) (1-cosθ)/θ=0

Solución:

lim┬(θ→0) (1-cosθ)/θ por la regla de L^' Hopital lim┬(θ→0) ((1-cosθ)')/θ'

lim┬(θ→0) senθ/1 = lim┬(θ→0) (sen(0))/1 = lim┬(θ→0) 0/1=0

FASE 3

E. Límites exponenciales. Demuestre que:

11.

〖lim〗┬(x→∞) { (3x²-x+1)/(2x²+x+1)-}^(x^2/(1-x^2 ))=2/3

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