Calculo Diferencial

Unidad 2

FUNCIONES

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, CODOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION

VARIABLE

Del latín variabĭlis, una variable es aquello que varía o puede variar. Se trata de algo inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Este conjunto es denominado conjunto universal de la variable o universo de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable.

Por ejemplo: x es una variable del universo {2, 4, 6, 8}. Por lo tanto, x puede tener cualquiera de dichos valores, es decir que puede ser reemplazada por cualquier número par menor a 9.

Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo, que puede ser sustituido o puede adquirir un valor cualquiera dentro de su universo. Los valores de una variable pueden definirse dentro de un rango o estar limitados por condiciones de pertenencia.

Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores determinan cambios en los valores de otra; variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades; y variables cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras.

FUNCION

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

x

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

D = {x / f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.

R = {f (x) / x D}

CODOMINIO

En matemáticas, el codominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota o o .

Sea la imagen de una función , entonces .

Para una función

Definida para

, o el equivalente ,

el codominio de es , pero nunca toma un valor negativo. Por lo tanto, la imagen de es el conjunto ; por ejemplo, el intervalo[0,∞).

Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalo pequeño dentro del codominio es el rango de f.

2.2 FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCION INYECTIVA

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

FUNCION SUPRAYECIVA

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:

FUNCION BIYECTIVA

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente,

Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto también se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.

2.3 FUNCION DE UNA VARIABLE REAL Y SU GRAFICA

Una función real de variable real es toda correspondencia que asocia a cada elemento de un subconjunto no vacio de un único número real. La expresamos como:

es la variable independiente e la variable dependiente.

Al conjunto, , de valores que toma la variable independiente se le llama dominio de la función.

Al conjunto de valores que toma la variable dependiente se le llama recorrido de la función.

Una función se define explícitamente si viene dada como , es decir, si la variable dependiente, , está despejada.

Una función se define implícitamente si viene dada en la forma , esto es, si la función se define mediante una expresión algebraica igualada a cero.

Ejemplo

La función está expresada en forma explícita.

La función está expresada en forma implícita.

Gráfica

La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano definido de la siguiente forma:

Ejemplo La figura de abajo muestra la gráfica de la funcion y cuatro puntos de la misma:

es el conjunto de puntos del plano definido de la siguiente forma:

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCION POLINOMINAL, RACIONAL E IRRACIONAL

Funciones algebraica

En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios.

Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación

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