Calculo Diferencial

1.-Introducción al Cálculo Integral

El cálculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son

Principales Objetivos a Estudiar

• Integral indefinida

• Integral definida

• Cambios de variable

• Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

• Teorema fundamental calculo

• Área de una región plana

• Volumen de un solido

• Técnicas de integración

• Integrales impropias

1.1 Definición de la integral de una función

Aplicación lineal definida sobre un conjunto de funciones y cuyo conjunto imagen está formada por números, funciones o clases de funciones.

Los distintos tipos de integración se caracterizan por el modo de definir la aplicación y por las condiciones de las funciones a las que se aplican.

Dicha aplicación lineal consiste en calcular la función F(x) cuya derivada da como resultado otra función o familia de funciones f(x). Si f y F son dos funciones reales que están definidas en un mismo dominio.

Las reglas básicas de la integración de funciones compuestas son similares a las de diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) es igual a la suma de sus integrales y lo mismo ocurre por la multiplicación de una constante.

1.2 Interpretación geométrica de la integral

La figura muestra la grafica de una función con el área bajo la curva de x=0 X=3. La altura del rectángulo numero k de los que se utilizan para calcular esta área. Las coordenadas el punto de la curva que oinciden con la esquina superior derecha del rectángulo. A la izquierda (arriba) de la figura esta el símbolo atematico que representa el área bajo la curva-.

1.3 Sumatorias (notación sigma)

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

El operando matematco que nos permite representar sumas , esta expresado con la letra griega sigma ∑

ejemplo

5

∑ i=1+2+3+4+5=15

I=1

Reglas de las sumatorias

Sumatoria de los datos de una variable para hallar la sumatoria de lo datos de una variable, procedemos a agregar cada dato el que sigue , hasta terminar

• La sumatoria de una constante que aparece N veces en un conjunto, es simbólicamente las veces la constante.

1.4.-Integración de las funciones constante, identidad y cuadrática mediante suma Riemann

Es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

1.5 La deriva de una función

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límitede la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de

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