CALCULO DIFERENCIAL

3.3 CÁLCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCIÓN.

3.4 CÁLCULO DE CENTROIDES

CONCEPTO:

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de sus lados.

Ejemplo de cono

Ejemplo del cilindro

CALCULO DE VOLUMENES

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a, b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Método del disco

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = wR2π

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Fórmula del volumen por discos

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

METODO DE LA ARANDELA.

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

METODO DE LA ARANDELA

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método).

Área de la arandela:

En la figura anterior, tenemos:

Entonces,

Ahora podemos establecer la siguiente definición:

Definición: El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x(o algún eje paralelo a él) viene dado por:

Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo al) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que:

Es una expresión valida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con

METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS

Ahora vamos a exponer el último método, quizás el más potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas).

Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura:

Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un sólido como muestra en la siguiente animación.

El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:

Donde representa el grosor del casquillo (grosor del segmento).

Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilindros tomados del sólido, generan aproximadamente el volumen del sólido.

Notemos en la figura que la altura h del cilindro se expresa por medio de la función h=f(x). Por último si integramos Vc con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber:

Nota: dx también representa el grosor del casquillo.

La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y

Para y en los siguientes ejemplos aplicaremos estas fórmulas y mostraremos su verdadera potencia (ahorro de cálculos).

CÁLCULO DE CENTROÍDES

En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

CENTROIDE DE UNA REGION PLANA

Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano

Sea g<=f funciones

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