Calculo Diferencial

Desigualdad y Valor Absoluto

Una desigualdad en una variables es una expresión de la forma f(x) “ “ 0, donde “ “ es alguna de las relaciones <,>, <=,>=.

Para resolver una desigualdad se entiende determinar el intervalo o combinación de intervalos ® cuyos elementos satisfacen la desigualdad.

Para resolver una desigualdad se utilizan los Axiomes de R como se ilustran en el siguiente ejemplo

Ejemplo 1

2x+4 < 6x +1

Solucion:

2x +4 <6x +1 Axioma 1, restamos -1

2x +4 -1 <6x +1 -1

2x +3< 6x Axioma 11, restamos -2x

2x +3 -2x < 6x-2x

3 < 4x Teorema 11, multiplicar ¼

3*1/4 < 4x* 1/4

3/4 < x

X que pertenece a R (3/4, infinito)

02/02/2012

3< 5x-7/2 <= 10 Teorema, Multiplicamos 2

2*3< 2* 5x-7/2 <= 2*10

6 < 5x-7 <= 20 Axioma 11, sumamos 7

6+7 < 5x-7+7 <= 20 +7

13 < 5x <= 27

13 * 1/5 < 5x * 1/5 <= 27 * 1/5

13/5 < x <= 27/5

X pertenece al conjunto de ( 13/5, 27/5]

Nota del día : Si se divide o multiplica por un numero negativo el sentido de la desigualdad cambia.

Hemos visto que a cada R se le asocia un único punto de la recta numérica, considerando la distancia entre el origen (0) y el numero dado, esta distancia también se define como el valor absoluto o como la magnitud del numero, formalmente se tiene las siguientes definiciones.

Si x es un numero real, se defina el valor absoluto de x como:

|x| =

{ x si x >= 0

{ -x si x < 0

Ejemplo 5, resolver la desigualdad x^2 >3x – 2

Caso 1:

Si (x-1) (x-2) >0 = (1, infinito) intersección (2, infinito) = (2, infinito)

Entonces x -1 > 0 y X -2 > 0

De donde x> 1 y X >2

Caso 2

Si (x-1) (x-2) > 0 = ( -infinito) intersección ( -infinito,2) = (-infinito,1)

Entonces x-1 < 0 y X – 2 < 0

De donde X < 1 y x < 2

Ejemplo 6, Resolver la desigualdad x^2 – 2x – 8 <= 0

Al considerar la desigualdad tenemos que

x^2 – 2x -8 <= 0 = (x-4)(x+2) <=0 = (-infinito , 4] intersección [-2, infinito) = [ -2,4 ]

Caso 1

Si (x-4) (x+2) <= 0

Entonces x-4 <=0 y X+2 >=0

De donde X <= 4 y x >= -2

Caso 2

Si (x-4) (x+2) <= ( -infinito, -2] intersección [4,infinito)

Entonces x-4 >= 0 y X+2 <= 0

De donde x >= 4 y X <= -2

Ejemplo 7,Desigualdad (x-8) / (x+4) >= 5

x-8 / x+4 >= 5

Caso 1 , si x + 4 > 0 (Observe que no se puede dar el caso x + 4 >= 0)

Entonces x-8 >= 5 (x+4) con

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