Calculo Diferencial

1.2. Los números reales

Los números naturales, los números enteros, los racionales e irracionales forman el

conjunto de los números Reales y se denotan con el símbolo R. Esto es:

Con el siguiente diagrama de Venn- Euler, se ilustran las relaciones que guardan entre

sí los conjuntos:

Los números Naturales (N): Estos números son los enteros y positivos y se definen

así:

N = {1, 2, 3, 4, 5,…}

Ejemplo: 5, 100, 2011, etc.

Algunos subconjuntos de los números naturales (N) son:

El conjunto de los número pares: {2, 4, 6,…}, que se denotan como: 2n

El conjunto de números impares: {1, 3, 5, 7,…} que se denota como: 2n-1

• RACIONALES

POSITIVOS

• CERO

• RACIONALES

NEGATIVOS

ENTEROS POSITIVOS

FRACCIONES COMUNES

DECIMALES POSITIVOS

· POSITVOS

· NEGATIVOS

R

Q

Z

N

Q’

ENTEROS POSITIVOS

FRACCIONES COMUNES

DECIMALES POSITIVOS

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5 Ing. Cintia del C. Hernández Crisostomo

El conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…} que son todos aquellos

números que solamente son divisibles por sí mismos y por la unidad (1), pero

excluyendo al 1.

Los números compuestos, que son todos aquellos que No son números primos.

Los números cardinales (N0): Son todos los números naturales incluyendo al cero:

N0 ={0, 1, 2, 3, 4, …}

Algunos subconjuntos de los números cardinales (N0) son los números naturales (N) y

todos los subconjuntos de este; así como los dígitos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Los números Enteros (z): El conjunto de los números enteros está compuesto por

números enteros positivos y enteros negativos, y se definen así:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

En donde se observa que los números naturales pertenecen al conjunto de los enteros,

esto es: NÌ Z.

Ejemplos: -80, -1, 0, 2, 6,

Los números Racionales (Q): El conjunto de los números racionales se definen de la

siguiente manera:

þ ý ü

î í ì

= | a Î Z , b Î Z , b ¹ 0

b

Q a

Se lee: los números racionales es el conjunto de números de la forma a entre b, tales

que a y b son números enteros y b es diferente de cero.

Ejemplos: 2/3, -1/4, 1, 2, -5/3

Los números enteros también se pueden expresar como el cociente de dos números

enteros: 2 = 2/1

Los números Irracionales (Q’): Está formado por todos los números decimales no

periódicos como es el caso de π = 3.1415926535…, e = 2.71…, incluyen también a las

raíces que no son exactas: 3 , 8 , etc.

Ejemplos de representación geométrica de los números reales:

Representa en la recta numérica los siguientes números:

a) Naturales: 2, 3, 8 y 6

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b) Enteros: -1, 4, -5, 0 y 3

c) Racionales: Para graficar estos números primero se divide la unidad entre el

número de partes que indique el denominador, en este caso la unidad se dividió

en 4 partes y el punto se sitúa en el número que indique el numerador, en este

caso en el lugar número 3.

4

3

Represente en la recta numérica: 5/4

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

¼, 1/3, 7/3, -5/6, 1/6, 9/5

d) Irracionales: Represente en la recta numérica las siguientes raíces:

2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9

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1.3. Propiedades de los números reales (INVESTIGACIÓN)

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan

mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados:

Intervalos acotados:

· Intervalo abierto (a, b). Está formado por los números reales x comprendidos

entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a<x<b. Y su representación gráfica

es de la siguiente manera:

· Intervalo cerrado [a,b]. Está formado por los números reales x comprendidos

entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a≤x≤b. Y gráficamente queda:

· Intervalo abierto a la derecha [a,b). Está formado por los números reales x

comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa a≤x<b. Gráficamente queda

así:

· Intervalo abierto a la izquierda (a,b]. Está formado por los números reales x

comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a<x≤b. quedando así su

gráfica:

Ejercicios: Grafique y exprese en forma de intervalo las siguientes desigualdades

a) -2<X<0 b) 3≤X<6 c) -1>x≥2 d) 5≤X≤8

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Intervalos no acotados:

· Los intervalos no acotados se representan mediante una semirrecta.

o (-∞,a). Está formado por los números reales x menores que a, excluido

a. Se expresa: x<a. Su grafica es de la siguiente forma:

o (-∞,a]. Está formado por los números

...