Calculo Diferencial

Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva:

y=sen4x/2 cuando x=π/2

y^'=(4 cos⁡4x)/2

y^'=2 cos⁡4x

y^'=2 cos⁡4(π/2)

y^'=2 cos⁡〖 2π〗

y^'=1,9880

La pendiente de la recta tangente a la curva cuando x = 3 es 1,9880

Si f(x)=√x+1/x^2 -3x , halle el valor de f' (1)

f^' (x)=d/dx (√x+1/x^2 -3x )

f^' (x)=(d/dx (x+1/x^2 -3x))/(2√x+1/x^2 -3x )

f^' (x)=(2x-3)/(2√x+1/x^2 -3x )

f^' (x)=(2(x-3))/(2√x+1/x^2 -3x )

f^' (x)=((x-3))/√((x-3)^2 )

f'(-1)=((-1)-3)/√(((-1)-3)^2 )

f'(-1)=(-3)/√9

f^' (-1)=1

Si h(x)=∛x/x , halle el valor de h''(1)

h(x)=∛x/x

h(x)=x^(1/2)*x^(-1)

h(x)=x^(-1/2)

h'(x)=〖-x〗^(-3/2)/2

h''(x)=〖3x〗^(-5/2)/4

h''(x)=4/〖-3x〗^(5/2)

h''(x)=4/(-3x^2 √x)

h''(1)=4/(-3〖(1)〗^2 √1)

h^''(1) = - 4/3

Hallar la derivada de las siguientes funciones

f(x) 〖=(sin⁡x/tan⁡x )〗^2

y=(sin⁡x/(sin⁡x/cos⁡x ))^2=(sin⁡〖x.cos⁡x 〗/sin⁡x )^2=cos^2⁡x

y=cos^2⁡x

y^'=2 cos⁡〖x .(-sin⁡〖x)〗 〗

y^'=-2 cos⁡x sin⁡x

f(x)=√(1/x)+1/x

f(x)=1/x^(1/2) +1/x=x^(1/2)+x^(-1)

f^' (x)=-1/2 x^(-3/2)-(1) x^(-2)

f'(x)=(-1)/(2x^(3/2) )-1/x^2

Fase 2.

f(x)=ln⁡√x/ln⁡∛x

f(x)=ln⁡〖x^(1/2) 〗/ln⁡〖x^(1/3) 〗 =(1/2 ln⁡x)/(1/3 ln⁡x )=3/2

f(x)=3/2

f^' (x)=0

f(x)=sin⁡√x

f^' (x)=(cos⁡√x )(1/(2√x))

y=x^(1⁄2)

f^' (x)=cos⁡√x/(2√x)

y^'=1/2 x^(-1/2)=1/(2√x)

f(x)=1-sin⁡〖x^2 〗

f^' (x)=-[cos⁡〖x^2 〗 (2x)]= -2x cos⁡〖x^2 〗

f^' (x)=-2x cos⁡〖x^2 〗

f(x)=e^(-senx)

f'(x)=e^(-senx) (d/dx (sen x))

f'(x)=e^(-senx) (d/dx (sen x))

f^'(x) =e^(-senx) (cosx)Rta.

Hallar la derivada implícita

Inx-Iny=y-x

1/x-(y´)/y=y´-1

1/x+1=y´+(y´)/y

1/x+1=y´(1+1/y)

(1+x)/x=y´((y+1)/y)

((1+x)/x)(y/(y+1))=y´

y´=y(1+x)/x(y+1) Rta.

Fase 3.

x^3-y^3=x-y

x^3-y^3=x-y

〖2x〗^2-3y^2 y^'=1-y´

3y^2 y^'+y´=1+2x^2

y^'(3y^2+1) =1+2x^2

y'=(1+2x^2)/(3y^2+1)

y'=(1+2(2)^2)/(3(1)^2+1)

y^'=7/2 Rta

Hallar la ecuación de la forma explicita de la recta tangente a la curva y=x^3-3x+3 para x=2

m=y^'=3x^2-3 Para x=2

m=3(2)^2-3=9 m=9

Hallamos un punto por donde pase la recta. Si x=2

y=2^3-3(2)+3=8-6+3=5

P(2,5)

m=9 P( 2, 5)

x_1 y_1

Ecuación de la recta y-y_1=m(x-x_1)

y-5=9(x-2)

y=9x-18+5

y=9x-13

De la curva f(x)= x^2-x Hallar:

Las coordenadas del punto crítico.

f´(x)=2x-1=0

f´(x)=2x=1

f´(x)=x=1/2

f(1/2)=(1/2)^2-1/2

f(1/2)=1/4-1/2

f(1/2)=(1-2)/4

f(1/2)=(-1)/4

Coordenadas del punto critico: (1/2,-1/4)

Los puntos de inflexión si los hay.

f(x)= x^2-x

f´(x)=2x-1=0

f´´(x)=2

No hay puntos de inflexión

Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización.

Una fabrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000 litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima?

La superficie de un cilindro

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