Calculo.

5.2. Aplicaciones.

5.2.1. Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función.

Ejemplos:

1. Sea la función y = x4

Su primera derivada es y′ = 4x3

Su diferencial se expresa dy = 4x3 Δx

2. Calcular la diferencial de la función y = 3x2 para x = 4 y el Δx = 0.2

y′ = 6x

Sustituyendo d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8

Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Df(x) Cauchy

f′(x) Lagrange

y′ Lagrange

Leibniz

Por lo tanto:

Derivada:

Sea la función y = f(x), la primera derivada se expresa . Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:

Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente.

Definición: Sea una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx) es cualquier número real no nulo. La diferencial de y (denotada dy) es.

En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como aproximación del cambio en y. Es decir.

o

Interpretación Geométrica.

Cuando se usa la recta tangente a f en el punto (c, f (c))

Recta tangente

como aproximación de la gráfica de f, la cantidad x – c se llama el cambio en x, y se denota por x (Figura 3.64). Cuando x es pequeño, el cambio en y (denotado y) se puede aproximar como sigue.

Cambio aproximado de y

En tales aproximaciones, la cantidad se suele denotar por dx y se llama diferencial de x. La expresión se denota por dy y se llama diferencial de y.

La Diferencial como aproximación del incremento.

Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor medido de una variable y x + x representa el valor exacto, entonces x es el error de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo de algún otro valor f(x), la diferencia entre y es el error propagado.

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