Calculo

Indice

• Concepto De Integral

- Integral De Riemann

• Calculo De Distancias Mediante Integración

• Calculo De Áreas Mediante La Integral

- Método De Los Discos

- Sólidos De Revolución

- Método De Las Arandelas

- Método De Los Casquillos Cilíndricos

• Longitud De Arco

• Volúmenes Por Rebanadas

• Superficies De Revolución

Concepto de Integral

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función

Si F!(x) = f(x), se representa

A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫fx dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x

Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en unapartición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

y denotamos la partición como

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [xi−1, xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificadoti de; [xi−1, xi]. Sea Δi = xi−xi−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene

, donde

Calculo de distancias mediante integración

1. Identifica la función de velocidad y el intervalo de tiempo sobre el cual quieres calcular la distancia recorrida por un objeto. Si no está disponible, tendrás que derivarla de un gráfico o deberás utilizar algún programa que determine la distancia recorrida. Para que entiendas cómo funciona, asume que la función de velocidad v(t) es 2t^2 - t - 6 y que el intervalo de tiempo es de t=0 a t=5.

2. Toma nota de si la función de velocidad cambia su dirección sobre el intervalo de tiempo. Si el objeto cambia su dirección una o más veces en el intervalo, entonces la distancia recorrida es la suma de las distancias en cada subintervalo. En otras palabras, si un objeto se mueve 5 metros a la izquierda y luego 10 metros a la derecha, la distancia total recorrida es de 5 metros (-5 metros + 10 metros) de su punto de origen. En el ejemplo, es claro que v(t) es menos que cero para t=0 y mayor a cero para t=5, por lo tanto cambia de dirección por lo menos una vez.

3. Determina cuándo el objeto cambia de dirección resolviendo la función. Utiliza la técnica de prueba y error para encontrar y aislar términos en común. Si esto no funciona, tendrás que usar algoritmos más complejos. Esto también se conoce como factorear, encontrar los ceros o las raíces de una función. En el ejemplo, reescribe v(t) como 2t^2 - 4t + 3t - 6. Reagrupa los términos para obtener 2t(t - 2) + 3(t - 2) y luego (2t + 3)(t - 2). Iguala cada polinomio a cero para poder resolver la ecuación. Ésto dará como resultado que los ceros de la función se encuentran en t=2 y t=-3/2. Como el intervalo de tiempo no puede ser negativo, hay sólo un cambio de dirección en t=2. Consecuentemente, el intervalo de tiempo t=0 a 5 tiene dos subintervalos: t=0 a 2 y t=2 a 5. La función es negativa para t entre 0 y 2, y positiva para t=2 en adelante.

4. Calcula la integral de la función de velocidad utilizando las reglas básicas de las integrales. En el ejemplo, la integral de 2t^2 - t - 6 es (2/3)t^3 - t^2/2 - 6t + k. El término constante "k" no es utilizado en el cálculo de la distancia.

5. Calcula la distancia recorrida sobre cada subintervalo. En el ejemplo, la distancia de t=0 a 2 es (2/3)(2^3 - 0) - (1/2)(2^2 - 0) - 6(2 - 0) o -26/3. La distancia de t=2 a 5 es (2/3)(5^3 - 2^3) - (1/2)(5^2 - 2^2) - 6(5 - 2) o 99/2. Recuerda que la función de velocidad es negativa de t=0 a 2 y positiva de t=2 a 5. Por lo tanto, la distancia total recorrida es -(-26/3) + 99/2 o 349/6.

Calculo de áreas mediante la integral

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

El intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo

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