Características espectrales de procesos aleatorios

Características espectrales de procesos aleatorios.

• Introducción:

Todas las discusiones anteriores sobre procesos aleatorios han involucrado el dominio del tiempo. Es decir, hemos caracterizado los procesos por medio de funciones de auto correlación, correlación cruzada y covarianza sin ninguna consideración de las propiedades espectrales. Como es bien sabido, existen métodos de análisis de dominio de tiempo y dominio de frecuencia para analizar sistemas lineales. ¿Pero qué pasa con las formas de onda aleatoria?, ¿hay alguna forma de describir procesos aleatorios en el dominio de la frecuencia?, la respuesta es sí, y el propósito de este capítulo es presentar los conceptos más importantes que se aplican a la caracterización de procesos aleatorios en el dominio de la frecuencia.

La descripción espectral de una forma de onda determinista se obtiene mediante la transformada de Fourier de la forma de onda, y el lector estaría en lo correcto al concluir que las transformadas de Fourier juegan un papel importante en la caracterización espectral de formas de onda. Sin embargo, el enfoque de transformación directa no es atractivo para formas de onda aleatorias porque la transformación puede no existir. Por lo tanto, el análisis espectral de procesos aleatorios requiere un poco más sutilmente que una señal determinista.

Un espectro apropiado para ser asociado con un proceso aleatorio se presenta en la siguiente sección. Los conceptos se basan en gran medida en la teoría de las transformadas de Fourier. Los lectores que deseen actualizar sus antecedentes sobre la teoría de Fourier se pueden remitir al apéndice D, donde se ofrece una breve reseña.

• Espectro de densidad de potencia y sus propiedades

Las propiedades espectrales de una señal determinista x(t) están contenidas en su transformada de Fourier X(W) dada por:

[pic 1]   ecu. 1

La función X(W), a veces es llamada simplemente el espectro de x(t), tiene la unidad de voltios por hertzio y describe la forma en que la tensión de señal relativa se distribuye con frecuencia. La transformada de Fourier puede, por lo tanto, considerarse como un espectro de densidad de voltaje aplicable a x(t). Tanto las amplitudes como las fases de las frecuencias presentes en x(t) están descritas por X(W). Por esta razón, si se conoce X(W), entonces x(t) se puede recuperar por medio de la transformada de Fourier inversa.

[pic 2]

En otras palabras, X(W) forma una descripción completa de x(t) y viceversa.

Al intentar aplicar (ecu. 1) a un proceso aleatorio inmediatamente encontramos problemas. El problema principal es el hecho de que X(W) puede no existir para la mayoría de las funciones de muestra del proceso. Por lo tanto, concluimos que una descripción espectral de un proceso aleatorio que utiliza un espectro de densidad de voltaje (transformada de Fourier) no es factible porque tal espectro puede no existir.

Por lo tanto, si ponemos nuestra atención a la descripción de la potencia en el proceso aleatorio en función de la frecuencia, resulta que tal no existe. Luego procedemos a desarrollar esta función, llamada espectro de densidad de potencia del proceso aleatorio.

• El espectro de densidad de potencia

Para un proceso aleatorio x(t), se debe definir xT(t) como parte de una función de muestra x(t) que existe entre –T y T, es decir:

[pic 3]

Ahora siempre que T sea finito, xT(t) satisfará:

[pic 4] 

Y tendrá una transformada de Fourier, que denotamos XT(W), dada por:

 [pic 5]

La energía contenida en x(t) en el intervalo (-T,T) es:

[pic 6]

Dado que xT(t) es transformable en cuanto, su energía también debe estar relacionada con XT(W) mediante el teorema de parseval:

[pic 7]

Dividiendo las expresiones anteriores por 2T, obtenemos la potencia promedio P(T) en x(t) sobre en intervalo (-T,T)

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