PROCESOS DE EFECTOS ALEATORIOS
Enviado por PAKOTILLA • 29 de Mayo de 2013 • 1.860 Palabras (8 Páginas) • 575 Visitas
Unidad 8: Modelo de Efectos Aleatorios
Análisis de la Varianza Modelo II - PARTE 1
8.1 Experimentos Factoriales Aleatorios y Mixtos
Cuando estudiamos, en la Unidad 7, Experimentos Factoriales suponíamos que los
factores eran fijos. En otras palabras, que el experimentador ha elegido los niveles de cada
factor y sólo le interesan esos niveles. En consecuencia, las inferencias basadas en el
análisis de la varianza pueden aplicarse a los niveles especificados.
Aquí mostraremos el modelo de efectos aleatorios en que los niveles de todos los
factores involucrados son seleccionados al azar de un conjunto de posibles niveles y el
modelo de efectos mixto en que se combinan factores fijos y aleatorios.
8.1.1 Modelo de Efectos Aleatorios
Consideraremos dos factores aleatorios, A con a niveles y B con b niveles, con n
repeticiones para cada uno de los axb tratamientos. Este es el Modelo de Efectos aleatorios
o de Componentes de Varianza. La inferencia pueden generalizarse a todos los niveles de
las poblaciones en estudio.
8.1.1.1 Modelo Lineal
Se mide la variable respuesta, la cual puede describirse mediante el siguiente
modelo de efectos:
ijk i j ( )ij ijk y =m + A + B + AB +e con i=1,...a y j=1,…,b y k=1,...,n donde
Ai, Bj, ( AB)ij ye ijk son variables aleatorias independientes, i A ~ ( , 2 )
A N 0 s ,
( 2 ) ( ) ( 2 ) j 0, B , ij 0, AB B N s AB N s ∼ ∼ y ij e ~ N( 0,s2 ) .
La varianza de cualquier observación ijk y es : 2 2 2 2 ( ) ijk A B AB Var y =s +s +s +s , una suma
de varianzas, cada una conocida como componente de varianza.
La descomposición de la suma de Cuadrados Total es:
SCT = SC entre tratamientos + SCee(dentro de trat), donde la SCentre trat se descompone
igual que en el Modelo I:
SCentre trat = SCA + SCB + SCAB
8.1.1.2 Prueba de Hipótesis
En este caso, las hipótesis a probarse son:
Ho: 2 0
A s = Ho: 2 0 B s = Ho: 2 0 AB s =
Para probar estas hipótesis vale la misma prueba que en el Modelo de efectos fijos,
pero para calcular los estadísticos adecuados para cada una debemos ver cuáles son los
Cuadrados Medios Esperados.
Esperanza de los Cuadrados Medios
( ) 2 2 2
A AB A E CM =s + ns + bns
( ) 2 2 2
B AB B E CM =s + ns + ans
( ) 2 2
AB AB E CM =s + ns
2 E(CMee) = s
UNRC – FCEFQN – Dpto. MATEMÁTICA – Asignatura DISEÑO EXPERIMENTAL - 2do. Cuatrimestre 2010
A partir de los Cuadrados Medios Esperados se pueden determinar cuáles son los
estadísticos apropiados para probar cada una de las hipótesis planteadas:
Ho: 2 0 AB s = AB
ee
CM
F
CM
=
Ho: 2 0
A s =
A
AB
CM
F
CM
=
Ho: 2 0 B s =
B
AB
CM
F
CM
=
La tabla de análisis de la varianza se muestra en la tabla 8.1
Tabla 8.1: Tabla ANOVA para dos factores aleatorios
Fuentes de Var g.l. S.C. C.M. F E(CM)
A a - 1 SCA CMA A
AB
CM
CM
2 2 2
AB A s + ns + bns
B b - 1 SCB CMB B
AB
CM
CM
2 2 2
AB B s + ns + ans
AxB (a -1)(b -1) SCAB CMAB CMAB
CMee
2 2
AB s + ns
Error Dif SCee CMee s2
Total N - 1 SCT
No corresponde realizar test a posteriori, sino lo que interesa es estimar las componentes de
varianza. Los estimadores para las componentes son:
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ee
AB ee
AB
B AB
B
A AB
A
CM
CM CM
n
CM CM
an
CM CM
bn
s
s
s
s
=
= -
= -
= -
Observemos, que lo que hemos encontrado son estimadores puntuales. Debemos calcular
el porcentaje de variación de cada componente con respecto a la variación total (Var(yijk) es
el 100%.)
8.1.2 Modelo de Efectos Mixtos
En muchas situaciones, tenemos experimentos factoriales donde alguno de los
factores son fijos y otros aleatorios.
Supongamos, por ejemplo, que tenemos dos factores A y B, donde A es fijo y B
aleatorio.
8.1.2.1 Modelo Lineal
Se mide la variable respuesta, la cual puede describirse mediante el siguiente
modelo de efectos:
ijk i j ( )ij ijk y =m +a + B + a B +e con i=1,...a y j=1,…,b y k=1,...,n donde i
a es un
efecto fijo del factor A, Bj, (a B)ij ye ijk son variables aleatorias independientes,
( 2 ) ( ) ( 2 ) j 0, B , ij 0, B B N B N a s a s ∼ ∼ y ij e ~ N( 0,s2 ) . Se supone que el efecto de la
interacción es aleatorio cuando uno de los factores es aleatorio.
La varianza de cualquier observación ijk y es : 2 2 2 ( ) ijk B B Var y a =s +s +s , una suma de
varianzas, cada una conocida como componente de varianza.
UNRC – FCEFQN – Dpto. MATEMÁTICA – Asignatura DISEÑO EXPERIMENTAL - 2do. Cuatrimestre 2010
Cuadrados Medios Esperados
( ) 2
E CMee =s
( ) 2 2
AB B E CM n a =s + s
( ) 2 2 2
B B B E CM n a an =s + s + s
( )
2
2 2 1
1
a
i
i
A B
bn
E CM n
a
a
a
=s + s + =
-
Σ
Las Hipótesis a probar y los estadísticos correspondientes son:
2
2
: 0
: 0
: 0
A
i
AB
B
B
AB
AB
B
ee
CM
Ho F
CM
CM
Ho F
CM
CM
Ho F
CM
a
a
s
s
= ® =
= ® =
= ® =
La presencia de interacción, sugiere la posibilidad de comparar los niveles de A para
cada nivel de B, con contrastes entre las medias de las celdas. Sólo en ausencia de
interacción, sería adecuado realizar la prueba para el factor A (fijo). Si éste resulta
significativo se deben realizar test a posteriori (si tiene más de dos niveles), pero se debe
tener especial cuidado con el cuadrado medio a utilizar, siempre es el que se usó como
denominador para el estadístico F correspondiente al factor A. Para B, debemos estimar la
componente de varianza. Éste es el llamado modelo mixto estándar, existen otros modelos.
8.2 Experimentos Factoriales Jerárquicos o Anidados
Un experimento factorial estándar, tiene dos características
...