Carga y campo en la superficie de un conductor

INDICE:

Introducción……………………………………………………………………………………..………..3

En el interior y en el exterior de una corteza cilíndrica…………………………………….4

En el interior y en el exterior de un cilindro uniformemente cargado…………6

En el interior y en el exterior de una corteza esférica………………………………………..8

En el interior y en el exterior de una esfera uniformemente cargada…………10

Carga y campo en la superficie de un conductor…………………………………………………12

Discontinuidad del Campo eléctrico………………………………………………………………………..14

Bibliografía………………………………………………………………………………………………………………………..15

INTRODUCCION

La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita.

La figura izquierda muestra una superficie de forma arbitraria que incluye un dipolo. El número de líneas que salen de la carga es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo recinto y terminan en la carga negativa. Si contamos el número que sale como positivo y el número que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como ocurre en la figura derecha, el número neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.

La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición general es :

∅=∫▒〖E.dA〗

Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por

∅neto=∫▒〖E.dA〗

Campo Eléctrico E en el Interior y en el Exterior de una Corteza Cilíndrica de Carga.

Calculemos ahora el campo eléctrico dentro y fuera de una corteza cilíndrica de radio R que posee una densidad de carga superficial uniforme, . Para calcular el campo dentro de la corteza consideremos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L y radio r < R concéntrica con la corteza.

Una corteza cilíndrica de radio , portadora de una densidad de carga superficial uniforme . Para determinar el campo eléctrico dentro de la corteza, se construye una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica con la corteza de radio como se indica. Como no hay carga dentro de la superficie gaussiana, el flujo neto a través de esta superficie es nulo.

Por simetría, el campo eléctrico es perpendicular a esta superficie gaussiana y su magnitud Er es constante en todos los puntos de la superficie. El flujo de E a través de la superficie es, por tanto.

en donde 2  r L es el área de la superficie gaussiana. Como la carga total dentro de esta superficie es cero, la ley de Gauss nos da.

Por tanto,

Es decir, el campo eléctrico es nulo en todos los puntos dentro de una corteza cilíndrica. Para determinar el campo eléctrico fuera de la corteza, consideremos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r>R. De nuevo, por simetría, el campo eléctrico es perpendicular a esta superficie gaussiana y su magnitud Er es constante en todos los puntos de la superficie. El flujo vuelve a ser Er 2  r L, pero ahora la carga total dentro de la superficie es 2  R L. Según la ley de Gauss:

Como la longitud L de la corteza cilíndrica transporta la carga  2  R L, la carga por unidad de longitud de la corteza es  =  2 R. Sustituyendo  / 2  R por  en la ecuación anterior, se obtiene:

Un campo E a una distancia r de una carga lineal infinita. Así pues, el campo exterior a una corteza cilíndrica de carga es el mismo que si toda la carga estuviera distribuida sobre el eje del cilindro. La figura 6 muestra el valor Er en función de r para esta distribución de carga. Justamente fuera de la corteza en r R, el campo eléctrico es Er = o. Como el campo justamente dentro de la corteza es cero, resulta un salto discontinuo del campo eléctrico de valor o al atravesar la corteza. Este resultado coincide con el que encontramos para un plano infinito de carga, en donde el campo eléctrico es - o a un lado del plano y + o al otro lado. Es un resultado general que deduciremos al final de esta sección

En el interior y en el exterior de un cilindro uniformemente cargado

Un cilindro sólido de radio R portador de una carga que está distribuida uniformemente por todo el volumen del cilindro con densidad de carga.

Lo mismo que en el caso de la corteza cilíndrica de carga; el flujo a través de una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud L es.

Si la superficie gaussiana es exterior al cilindro, es decir, si r > R, la carga total dentro de esa superficie es  veces el volumen del cilindro sólido, el cual vale  R² L. Según la ley de Gauss:

Así pues, el campo eléctrico exterior a un cilindro sólido de carga es el mismo que si toda la carga estuviera distribuida en el eje del cilindro. Si se elige la superficie gaussiana en el interior del cilindro, de modo que r < R, la carga total interior a la superficie es  V', en donde V' =  r² L es el volumen del cilindro interior a la superficie gaussiana. Por tanto, la ley de Gauss nos da para el campo eléctrico interior al cilindro sólido de carga:

Es decir, el campo eléctrico dentro de un cilindro sólido de carga crece con el valor de r. La muestra un gráfico de Er en función de r para esta distribución de carga. Obsérvese que Er es continuo en r = R.

Campo Eléctrico E en el Interior y en el Exterior de una Corteza Esférica de Carga

Determinaremos ahora el campo eléctrico interior y exterior a una corteza esférica uniformemente cargada de radio R y carga total Q. Por simetría, E

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