Integral de superficie de un campo escalar

INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO ESCALAR

La integral del campo escalar  sobre la superficie  se expresa con la siguiente notación:[pic 1][pic 2]

[pic 3]

• es una superficie suave.[pic 4]

•  es un campo escalar continuo sobre .[pic 5][pic 6]

• , es la diferencial de superficie.[pic 7]

Una integral de superficie se calcula transformándola previamente en una integral doble, lo cual

requiere expresar el integrando en función de dos únicas variables independientes. El dominio de

integración de la integral doble pasará a ser la proyección de la superficie  sobre el plano de las[pic 8]

variables independientes elegidas.

Suponiendo S la superficie definida por  diferenciable,  continua sobre[pic 9][pic 10]

 y utilizando la expresión obtenida para el diferencial de superficie, la integral de [pic 11][pic 12]

campo escalar continuo sobre  , es[pic 13]

[pic 14]

Una superficie suave es imagen de una función  definida en un dominio   donde  es la proyección de  sobre el plano .[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Suponiendo  la superficie definida por  , la integral de   campo escalar continuo sobre , es[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

donde  es la proyección de  sobre el plano .[pic 25][pic 26][pic 27]

Suponiendo  definida en paramétricas [pic 28]

[pic 29]

la integral de  campo escalar continuo sobre , es[pic 30][pic 31]

[pic 32]

Propiedades

P1 (Linealidad). La integral de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de las integrales.

P2 (Aditividad sobre la superficie de integración). La integral sobre una superficie que sea unión de varias es la suma de las integrales sobre cada una de ellas; por ejemplo, para la unión de dos superficies:

[pic 33]

P3 (Independencia de la parametrización). El valor de la integral no cambia con la parametrización elegida para la superficie.

P4 (Independencia de la orientación). El signo de la integral no cambia con la orientación fijada en la superficie

Algunas aplicaciones

Área de una superficie. Si sobre una superficie  se integra el campo escalar constante , se obtendrá el área superficial de .[pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

Masa de una lámina. Si  es la forma de una lámina, o elemento de dos dimensiones significativas en el espacio, y el campo  da el valor de la densidad superficial en cada punto de la lámina, la masa total de la lámina será la integral de g sobre .[pic 38][pic 39][pic 40]

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