Ejercicios Integral De Superficie

Tema 1: An´ alisis Vectorial

1. Campos escalares y vectoriales: Campos escalares. Superficie equiescalar. Campos vecto-

riales. L´ ıneas y tubos de campo.

2. Integrales sobre campos: De l´ ınea. Circulaci´ on. De superficie. Flujo. De volumen.

3. Gradiente: Derivada direccional. Definici´ on de gradiente en coordenadas cartesianas. Inter-

pretaci´ on geom´ etrica y propiedades. Definici´ on intr´ ınseca. Componentes en distintos sistemas co-

ordenados.

4. Divergencia: Definici´ on intr´ ınseca. Expresi´ on en distintos sistemas coordenados. Interpretaci´ on

f´ ısica. Teorema de la divergencia (Gauss-Ostrogradsky).

5. Rotacional: Definiciones intr´ ınsecas. Expresi´ on en distintos sistemas coordenados. Inter-

pretaci´ on f´ ısica. Teorema de Stokes.

6. El operador nabla: Propiedades. Aplicaci´ on doble sobre campos. Aplicaci´ on sobre productos

de campos.

7. Diadas: Definici´ on y propiedades. Aplicaciones al c´ alculo diferencial.

8. Algunos teoremas integrales: Teoremas de Green. Teorema del gradiente. Otros teoremas.

9. ´ Angulo s´ olido: Definici´ on y medida. Interpretaci´ on geom´ etrica. ´ Angulo s´ olido subtendido por

una superficie cerrada.

10. Funci´ on δ de Dirac: Definici´ on. Distribuciones. Propiedades. Funci´ on δ tridimensional. Apli-

caciones f´ ısicas.

11. Campos irrotacionales: definici´ on y propiedades.

12. Campos solenoidales: definici´ on y propiedades.

13. Campos arm´ onicos: definici´ on y propiedades.

14. Teorema de Helmholtz: Enunciado y demostraci´ on. Fuentes escalares y vectoriales.

1.1. Campos escalares y vectoriales

• Se define campo escalar, ϕ( r), como una funci´ on de la posici´ on que a cada punto del espacio

asigna una magnitud escalar. La funci´ on debe ser monovaluada para que la magnitud pueda tener

significado f´ ısico.

Ejemplos de campos escalares son la presi´ on p,densidad ρ y temperatura T de un cuerpo,

definidas en el espacio tridimensional. Otro ejemplo, ahora en dos dimensiones, es el de la altitud

de un punto geogr´ afico, h(x, y), respecto del nivel del mar.

Una representaci´ on muy ´ util de un campo escalar se consigue mediante una familia de super-

ficies equiescalares, definidas como el lugar geom´ etrico de puntos que satisfacen la ecuaci´ on

ϕ(x, y, z)= C, donde C es una constante que fija el valor considerado del campo escalar y que,

al variar, nos genera la familia. Un ejemplo de representaci´ on mediante una familia de superficies

equiescalares lo tenemos en los mapas topogr´ aficos que incluyen l´ ıneas de nivel, o altitud constante.

En este caso bidimensional las superficies se sustituyen

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