Circunferencia. Familia de circunferencias

República bolivariana de Venezuela.

Universidad Alonso de Ojeda.

Ciudad Ojeda- Edo Zulia.

Facultad: Ingeniería

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Integrantes:

Brayan Cardoza

Oswaldo Reyes

Nelbelson Castillo

Jesús García

Jusef Dargham

Ciudad Ojeda 2014

1. Circunferencia

Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Se define la circunferencia como el conjunto de puntos P(x, y) tal que la distancia de P a O es igual a “r”. Es decir:

Circunferencia = {P (x, y)/ d (P, O) =r}

Sea O un punto del plano y sea “r” un número real positivo. Al punto “O” se le denomina centro de la circunferencia y a “r” se le denomina radio de la circunferencia.

• Ecuación analítica de la circunferencia: Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos

X2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.

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Si reemplazamos   – 2a = D;     – 2b = E;     F = a2 + b2 – r2 tendremos que:

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Ejemplo: Si tenemos la ecuación  x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0

Entonces tenemos que: D = 6 => 6 => – 2a => a => – 3

E = – 8 => – 8 => – 2b => b = 4

El centro de la circunferencia es (– 3, 4).  Hallemos el radio

F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 => r = 6

La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

Familia de circunferencias

Cuando hablamos de familias de circunferencia hablamos de conjuntos de circunferencias que cumplen cierta condición es decir que tienen cierto parentesco; de ahí el termino de familia.

• Circunferencias que tienen el mismo centro:

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• Circunferencias que pasan por dos puntos:

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• Circunferencias que pasan por las intersecciones de dos circunferencias:

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Recta tangente a una Circunferencia

Si el punto se encuentra dentro de la circunferencia se traza una tangentes el punto se encuentra fuera de la circunferencia se traza dos tangentes

Propiedades:

La recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia dibujado en el punto de tangencia.

La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio de dicha Circunferencia

Circunferencias tangentes

Dada una circunferencia de centro [pic 8] y radio [pic 9], es tangente en un punto [pic 10] a otra circunferencia de centro [pic 11] y radio [pic 12] si el los dos centros de las circunferencias y el punto de tangencia están sobre la misma recta, y el punto [pic 13] de tangencia es la intersección de las dos circunferencias.

Así partiendo de una circunferencia y un punto P, de la misma, trazando una recta que pase por el centro de la circunferencia y el punto P, cualquier circunferencia con centro en esta recta, que pase por P, será tangente a la circunferencia dada en ese punto.

Circunferencia tangente a una recta

Dada una recta r y un punto P de la misma, trazando la perpendicular a la recta r por P, cualquier circunferencia con centro en esta perpendicular que pase por P es tangente a r en el punto P.

Por el razonamiento inverso podemos trazar la recta tangente a una circunferencia en un punto P dado. Su ecuación se llama ecuación de la desdoblada.

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1. Parábola, ecuaciones y aplicaciones

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l. Es decir:

Parábola = {P(x, y)/d (P, F) = d (p, l)}

Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le denomina directriz de la parábola.

• Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ

Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy

Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c (y – q)

Desarrollando la ecuación tendremos:   x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0

Si hacemos D = – 2p

E = – 4c

F = p2 + 4cq

Obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el término de y2.

Ecuaciones de la parábola

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo.

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:

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Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

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Usando nuevamente los paralelismos:

[pic 17].

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

[pic 18].

Pero el valor de

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Es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

[pic 20]   Arroja la expresión y=ax².

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

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