Circunferencia

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene una o varias funciones trigonométricas de la variable trigonométrica del arco x. Despejar “x” significa encontrar los valores de los arcos trigonométricos, cuyas funciones trigonométricas hacen que la ecuación trigonométrica sea correcta.

Las respuestas, o valores de los arcos de solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos:

x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45⁰; x = 37,12⁰; x = 178,37⁰

Nota: en la circunferencia trigonométrica o circunferencia unitaria, las funciones trigonométricas de cualquier arco son las mismas funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. La circunferencia unitaria define todas las funciones trigonométricas del arco variable x. También, se usa como demostración en la resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

sen x + sen 2x = 1/2; tg x + cotg x = 1,732;

cos 3x + sen 2x = cos x; 2sen 2x + cos x = 1 .

La circunferencia unitaria.

Es una circunferencia con radio = 1 unidad y O como origen. La circunferencia unitaria define 4 funciones trigonométricas principales del arco variable x que rota en sentido antihorario en él.

Cuando el arco con valor x varía en la circunferencia unitaria:

El eje horizontal OAx define la función trigonométrica f(x) = cos x.

El eje vertical OBy define la función trigonométrica f(x) = sen x.

El eje vertical AT define la función trigonométrica f(x) = tg x.

El eje horizontal BU define la función trigonométrica f(x) = cotg x.

La circunferencia unitaria también se usa para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas teniendo en cuenta las distintas posiciones del arco x en esta circunferencia.

Pasos

Solve Trigonometric Equations Step 1.jpg

1Conoce el concepto de resolución.

Para resolver una ecuación trigonométrica, transfórmala en una o en varias ecuaciones trigonométricas básicas. Finalmente, la resolución de ecuaciones trigonométricas da como resultado la resolución de 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas.

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Solve Trigonometric Equations Step 2.jpg

2Conoce cómo resolver ecuaciones trigonométricas básicas.

Existen 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:

sen x = a ; cos x = a

tg x = a ; cotg x = a

Resolución de los procedimientos de las ecuaciones trigonométricas básicas mediante el estudio de distintas posiciones del arco x en la circunferencia unitaria y mediante el uso de la tabla de conversión trigonométrica o calculadora. Para saber completamente cómo resolver estas ecuaciones trigonométricas básicas y similares, lee el libro titulado: "Trigonometry: Solving trig equations and inequalities" ("Trigonometría: Resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas") (Amazon E-book 2010).

Ejemplo 1: resuelve sen x = 0,866. La tabla de conversión o calculadora te da x = Pi/3 como respuesta. La circunferencia unitaria da otro arco (2Pi/3) que tiene el mismo valor del seno (0,866). Además, la circunferencia unitaria da una infinidad de respuestas que se denominan soluciones extendidas.

x1 = Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi))

x1 = Pi/3 + 2k Pi, y x2 = 2Pi/3 + 2k Pi (soluciones extendidas)

Ejemplo 2: resuelve: cos x = -1/2. La calculadora da x = 2 Pi/3 como resultado. La circunferencia unitaria da otro resultado x = -2Pi/3.

x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = - 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi))

x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, y x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi (soluciones extendidas)

Ejemplo 3: resuelve: tg (x - Pi/4) = 0.

x = Pi/4; (solución)

x = Pi/4 + k Pi; (soluciones extendidas)

Ejemplo 4: resuelve cotg 2x = 1,732. La calculadora y la circunferencia unitaria dará como resultado cotg 2x = 1,732.

x = Pi/12; (solución)

x = Pi/12 + k Pi; (soluciones extendidas)

Solve Trigonometric Equations Step 3.jpg

3Aprende las transformaciones que se usan para resolver ecuaciones trigonométricas.

Para transformar una ecuación trigonométrica dada en una trigonométrica básica, usa transformaciones algebraicas comunes (factorización, factor común, identidades polinómicas...), definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. Existen aproximadamente 31, de las cuales las últimas 14 identidades trigonométricas, de la 19 a la 31, se denominan identidades de transformación, ya que se usan en la transformación de ecuaciones trigonométricas. Lee el libro mencionado anteriormente.

Ejemplo 5: la ecuación trigonométrica: sen x + sen 2x + sen 3x = 0 se puede transformar en un producto de ecuaciones trigonométricas básicas con el uso de identidades trigonométricas: 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. Las ecuaciones trigonométricas básicas que hay resolver son: cos x = 0 ; sen (3x/2) = 0 ; y cos

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