Combinación Linal, Independencia Lineal, Base Y Dimencion

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ, EN EL ESTADO DE CAMPECHE

Resumen

En estos capítulos observaremos la representación de operaciones con vectores aplicados en planos de diversas dimensiones, lo cual su comprensión es fundamental para su aplicación en diversas situaciones, también identificaremos la relación que puede haber entre vectores como es combinación lineal, dependencia lineal y base y dimensión.

Abstract

These chapters will look at the representation of vector operations applied in planes of various dimensions, which is critical to understanding its application in different situations, also identify the possible relation between vectors as linear combination, linear dependence and basis and dimension.

Índice del contenido

Introducción 4

Objetivos 4

Combinación lineal 5

Ejemplo 5

Independencia Lineal. 8

Ejemplo: 8

BASES Y DIMENSIÓN 9

Definición: 9

Propiedades de las bases. 9

Ejemplos de bases. 10

Teorema y definición: 11

Ejemplos de dimensión. 11

Propiedades de la dimensión. 12

Ejemplo. 12

Teorema:. 12

Teorema. 12

Conclusión 14

Referencia 15

Introducción

En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores. Se establece la relación entre el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores. El resultado clave indica que es equivalente buscar la solución a un sistema de ecuaciones lineales que determinar los valores de los coeficientes que multiplicando cada una de las columnas de la matriz de coeficientes y sumando los vectores resultantes da como resultado el vector de constantes del sistema. Como también Informalmente la dimensión de un espacio topológico, da una idea de cuantos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en este espacio. Cuando el espacio topológico en cuestión es un espacio vectorial, ese número coincide con el número de vectores de una base de dicho espacio.

Objetivos

Comprender y manejar los conceptos de espacio y subespacio vectorial, dependencia lineal, base. Distinguir cuando un subconjunto de un espacio vectorial dado es subespacio, ser capaz de calcular bases para el mismo. Comprender y manejar el concepto de dimensión. La meta final es analizar las razones por las que un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Nuestra conclusión será que se debe a que las columnas de la matriz de coeficientes forman un conjunto de vectores linealmente dependiente. Si fuera conjunto independiente, la solución sería única en caso de haber solución. 

Combinación lineal

Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,……….vn

Si se puede expresar de la forma

W = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +……………….+ kn vn

donde k1 , k2 k3 ………kn son escalares.

Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v1, v2 ,v3 …. vn }

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k1 u + k2 v

(9,2,7)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(9,2,7)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

9= k1 +6k2

2= 2k1 +4k2

7 = -k1 +2k2

Resolviendo el sistema k1 = -3 k2 = 2

La respuesta es:

W= -3 u +3 v

(4,-1,8)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(4,-1,8)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

4= k1 +6k2

-1= 2k1 +4k2

8= -k1 +2k2

Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.

Ejercicio

1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v1 v2,v3} donde

V1=(1,0.0,1) v2=(1,-1,0.0) v3=(0,1,2,2)

V=(-1,4,2,2)

V =(1,2,01)

V=(-1,1,4,3)

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