Conocimiento de las matematicas. NÚMEROS NATURALES

NÚMEROS NATURALES

Clasificación de números Naturales:

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¿Qué y cómo contamos?

Números Cardinales:

• Contamos el tamaño de una colección.
• Estrategias: percepción, estimación, recuento y cálculo.

Números Ordinales:

• Indicamos el lugar de un objeto dentro de una colección.
• Ordenar.

La utilización del número se puede considerar en dos grandes bloques: número cardinal y número ordinal.

El cardinal está asociado a contar una colección de objetos (tengo un perro, dos pelotas, tres pantalones…) y el ordinal está asociado a determinar el lugar de un objeto dentro de una colección (vivo en el primer piso, soy el segundo hermano, voy a tercer curso…).

Algunos sistemas de numeración

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en tres grandes grupos: aditivos, híbridos y posicionales.

Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos necesarios hasta completar el número. En estos sistemas el orden es indiferente. Por ejemplo, el egipcio.

Es un sistema en base 10, pero alguno de los números tiene muy difícil representación, podemos imaginarnos la cantidad de símbolos necesarios para construir el 999.999.

Los sistemas híbridos son los que contemplan algún tipo de acción multiplicativa. Por ejemplo, el chino.

Aquí se reduce el número de símbolos porque se agrupa en grandes bloques, pero sigue siendo complicada la representación y los cálculos.

Por último, tendríamos los sistemas posicionales, entre los que se encuentran el babilónico, el maya, el decimal, el sexagesimal y el binario (o en base 2). Vamos a ver este último. El sistema binario o en base 2 es el sistema de numeración por el que operan las computadoras. Es Sí o No, verdadero o falso, activado o desactivado. El sistema cuenta con dos símbolos (0;1). Un número representado en binario sería de la siguiente forma:
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Operaciones con números naturales

Adición o suma: permite añadir cantidades a otras. Los términos de la suma son los sumandos (los números que vamos añadiendo) y el resultado. ¡El resultado siempre nos tiene que dar mayor que cualquiera de los sumandos!

Propiedades:

• Cerrada: la adición de dos números naturales es siempre un número natural.
• Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) . Podemos sumar agrupando los sumandos que queramos.
• Conmutativa: a+b = b+a . El orden de los sumandos no altera el resultado.
• Elemento neutro: el 0; todo número natural añadido al 0 sigue siendo el mismo, a+0 = 0+a = a

Multiplicación: consiste en sumar varias veces un mismo número. Al número de veces que queremos sumar multiplicador y al número en cuestión multiplicando, al resultado le llamaremos producto. Podemos generalizar multiplicando tantos números como queramos.  En este caso les llamaremos factores y el resultado seguirá siendo el producto. ¡El producto siempre nos tiene que dar mayor que cualquiera de los factores!

Propiedades:

• Cerrada: el producto de dos números naturales es siempre un número natural.
• Asociativa: (axb)xc = ax(bxc). Podemos multiplicar agrupando los factores que queramos.
• Conmutativa: axb = bxa. El orden de los factores no altera el producto.
• Distributiva: (a+b)xc = (axc) + -(bxc) Podemos sumar dos números y multiplicar por un tercero o multiplicar cada uno de los sumandos por el factor y luego realizar la suma.
• Elemento neutro: el 1; todo número natural multiplicado por 1 sigue siendo el mismo, ax1 = 1xa = a

Sustracción o resta: permite eliminar una cantidad de otra mayor, siendo estas de la misma especie. Los términos de la resta son el minuendo, que representa la cantidad total y el sustraendo que es la cantidad que se quiere eliminar y el resultado de la operación sería la diferencia. Para que tengamos otro número natural en la diferencia, el minuendo tiene que ser mayor que el sustraendo.

Propiedades:

• No es cerrada: la sustracción de dos números naturales no es siempre un número natural. Solo podemos sustraer una cantidad menor a la inicial.
• No es asociativa: el orden en que sustraemos puede influir en el resultado final.
• No es conmutativa: es más, si se puede efectuar a-b dentro de los números naturales entonces b-a no.
• Elemento neutro: el 0; en este caso podemos restar el 0 a todo número natural pero no podemos restar ningún número natural al 0, a-0 = a; 0-a no existe.
• La propiedad fundamental de la resta es que si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al sustraendo la diferencia no varía.

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División: permite repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la resta son el dividendo, el número que se quiere repartir; divisor, partes en las que queremos dividir; cociente, el número resultado; el resto, en caso de que no se pueda repartir en partes iguales quedará un número «suelto».

Propiedades:

• No es cerrada: la división de dos números naturales no es siempre un número natural. Solo será un número natural si el resto es 0 y se denominará división exacta.
• No es asociativa: el orden en que dividimos puede influir en el resultado final.
• No es conmutativa.
• Elemento neutro: no tiene. El 1; en este caso podemos dividir entre el 1 a todo número natural pero no podemos dividir el 1 entre ningún número natural y que obtengamos resto 0 (excepto por el propio 1). Con respecto al 0, no se puede dividir por 0 y si dividimos 0 entre otro número su resultado es 0.

Jerarquía de las operaciones

El orden de realización de las operaciones puede alterar el resultado. Si no son necesarios los paréntesis, no se ponen (tampoco los corchetes). Pero… si tenemos paréntesis, entonces nuestra prioridad sería hacer lo que tenga contenido.

El orden para realizar operaciones es:

1º Operaciones entre paréntesis.

2º Multiplicaciones y divisiones.

3º Sumas y restas.

Si solo hay multiplicaciones y divisiones, o sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha.

Divisibilidad: máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

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