Coordenadas Cartesianas
Enviado por Luis0905 • 7 de Mayo de 2023 • Apuntes • 1.189 Palabras (5 Páginas) • 33 Visitas
Coordenadas cartesianas
Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:[pic 1]
[pic 2]
Coordenadas polares
Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:
[pic 3]
Convertir
Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:
[pic 4]
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
[pic 5]
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22,6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )
De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
[pic 6]
Usamos la función coseno para x: | cos( 23 °) = x / 13 |
Cambiamos de orden y resolvemos: | x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0,921 = 11,98 |
|
|
Usamos la función seno para y: | sin( 23 °) = y / 13 |
Cambiamos de orden y resolvemos: | y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0,391 = 5,08 |
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
otro de la 2 por si acaso
3.2.3 Conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas y viceversa | [pic 7] |
Superponiendo un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares, vemos que la conversión de coordenadas polares (r,A) a coordenadas rectangulares (x,y) es:
x = r cos A, y = r sen A |
Ejemplos:
[pic 8] |
[pic 9] |
Para convertir de coordenadas rectangulares a polares utilizamos las relaciones:
r2=x2+y2, Tan A=y/x |
Sin embargo debemos recordar que la tangente inversa siempre nos dará un ángulo entre -[pic 10]/2 y [pic 11]/2, y que de la relación anterior obtendremos dos valores de r, uno negativo y otro positivo.
Debemos tener cuidado en seleccionar la combinación correcta de r y A que represente al punto (x,y).
Ejemplos:
El punto (-1,1)
[pic 12]
El punto (-1,-2)
[pic 13]
Área calcular
En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función y=f(x)y=f(x) definida a partir de x=ax=a a x=bx=b donde f(x)>0f(x)>0 en este intervalo, el área entre la curva y el eje x está dada por A=∫baf(x)dx.A=∫abf(x)dx. Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el teorema fundamental del cálculo. Del mismo modo, la longitud de arco de esta curva está dada por L=∫ba1+(f′(x))2−−−−−−−−−−√dx.L=∫ab1+(f′(x))2 dx. En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para el área y la longitud de arco en el sistema de coordenadas polares.
Áreas de regiones delimitadas por curvas polares
Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo.
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