Cálculo Diferencial

Actividad 3. Continuidad de funciones

Resuelve los siguientes ejercicios:

Dada la función hallar el valores de y de tal forma que es continua en y .

Empezamos por hallar los valores de a y b

Si f(x)= x^2+4 Si x≤1

Cuando x=1

f(1)=1^2+4=5

Por lo que

lim┬(x→1)⁡〖x^2+4〗=5

Si

lim┬(x→1^+ )⁡〖ax+b〗

lim┬(x→1^+ )⁡〖a(1)+b=a+b〗

Entonces

Si f(x)= -x^2-5 Si 2≤x

Cuando x=2

f(2)=〖-2〗^2-5=-9

Por lo que

〖lim┬(x→2)-〗⁡〖x^2-5〗=-9

Si

lim┬(x→2)⁡〖ax+b〗

lim┬(x→2)⁡〖a(2)+b=2a+b〗

Entonces

lim┬(x→1)⁡〖x^2+4〗=lim┬(x→1^+ )⁡〖ax+b〗

Tenemos

a+b=5

lim┬(x→2)⁡〖〖-x〗^2-5〗=lim┬(x→2)⁡〖ax+b〗

Tenemos

2a+b=-9

Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante suma y resta.

Multiplicamos por -1 la primera ecuación

a+b=5 (-1)

-a-b=-5

Sumamos

-a-b=-5

2a+b=-9

a =-14

Sustituimos a=-14 en 2a+b=-9

2(-14)+b=-9

-28+b=-9

b=-9+28

b=19

De aquí tenemos que

f(x)={█( x^2+4 Si x≤1 @-14x+19 Si 1<x≤2@ -x^2-5 Si 2≤x )┤

Dada la función continua en . ¿Qué valor debe tomar para que la función sea continua en ?

Encontramos la función indefinida en x=-5 si lo hacemos de forma directa por lo que simplificaremos nuestra función.

f(x)=(〖4x〗^3+〖17x〗^2-15x)/(x+5)

f(x)=(x(〖4x〗^2+17x-15))/(x+5)

f(x)=(x(4x-3)(x+5))/(x+5)

f(x)=x(4x-3)

f(x)=〖4x〗^2-3x

Por lo que:

f(-5)=〖4(-5)〗^2-3(-5)=115

Demostrar que es continua en si y sólo si .

Se dice que

lim┬(x_0→0)⁡〖f(x_0+h)=f(x_0 〗)

Suponiendo que f(x) es continua tenemos que

x=x_0+h ∴h=x-x_0

Como x→x_0 h→0 nos queda

lim┬(x→0)⁡〖f(x)=f(x_0 〗) lim┬(x_0→0)⁡〖f(h+x_0 〗)=f(x_0)

Supongamos que

lim┬(x_0→0)⁡〖f(h+x_0 〗)=f(x_0)

Y tenemos que

x=x_0+h ∴h=x-x_0

Siendo x_0 un punto fijo donde h→0 lo que significa que x→x_0 dando como resultado

lim┬(x_0→0)⁡〖f(h+x_0 〗)=f(x_0)

Esto se convierte por lo mencionado como

lim┬(x→x_0 )⁡〖f(x)=f(x_0 〗)

Dado esto f es continua en x_0

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