Calculo Diferencial

Dado x, y, z ∈ R, donde xy y z0, demuestre que xzyz.

Se demuestra que x<y significa por definición que y - x  R+ y si z<0 entonces -z  R+ Y se tiene ambos producto de R+ (-z) (y-x)  R+ aplicando la propiedad distributiva Se tiene (-z) y + (-z) (-x)  R+ aplicamos la ley de los signos queda -zy + zx  R+ aplicamos conmutativas de suma y producto para dejarlo como xz - yz  R+ Por lo que se demuestra que XZ > YZ.

Demuestre que para cualesquiera x, y, z, w  R tales que 0<x<y y 0<z<w entonces xz<yw.

La expresión 0 < X < y significa que 0 < X y X < Y Prueba como Y < 0 y X < W, X Y < Y W Según el axioma de orden Si X < Y y 0 < Z → XZ < YZ

Consideramos dos casos

1° Caso Si x > 0

Implica que según el axioma 4° de orden Si X < Y entonces XZ < YZ

Ahora usando el 2° axioma de orden Si X < Y y Y < Z → X < Z y además la ley transitiva respecto a los axiomas de orden mencionados el 2° y 4° queda finalmente en conclusión que XZ < YW

2° Caso Si x = 0

Implica que por medio de un teorema XZ = 0 = YZ

Luego concluimos que XZ < YW

Demuestre por inducción matemáticas que dados x,y R tales que 0<x<y demostrar que

x^n<y^n para cualesquiera n R.

Inducción matemática:

Demostrar que es cierto para el caso n=1

X < Y (esto está dado por tu propio problema, cuando dices "0<X<Y").

ASUMIR que es cierto para n=k (k es cualquier valor, solo vamos a asumir que es cierto para n=k).

x^n<y^n

Probar que es cierto para el caso n=k + 1.

x^n (k+1) <〖 y〗^n (k+1).

k+1 = k+1. Como X<Y, y ambos están siento elevados a una misma potencia, esto es suficiente para saber que es cierto para k+1.

Resolver la ecuación .

Por definición tenemos que:

|x| = x x ≥ 0 − x x < 0

|2x − 5| = 2x − 5

2x − 5 ≥ 0

−2x + 5 + 2x − 5 < 0

Ahora despejando 2x − 5 ≥ 0 tenemos que x ≥ 5, del mismo modo para 2x − 5 < 0 obtenemos x < 5. De esto se deduce que:

|2x − 5| = 2x − 5 x ≥ 5/2

−2x + 5 x < 5/2

Ahora dividiendo el problema por casos tenemos que si x < 0 entonces:

x − 2x + 5 = 1 − x

x − 2x + x = 1 − 5

0 = - 4

Lo cual es una contradicción, por lo tanto no hay soluciones para x < 0. Ahora para

x ∈ [0, 5 ) vemos que:

x − 2x + 5 = 1 + x

x − 2x – x = 1- 5

−2x = -4

X = (-4)/(-2)

X = 2

Entonces la ecuación cumple para x = 2.

Resolver la desigualdad

...