Cálculo diferencial

Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla

Organismo Público Descentralizado

Plantel 28, Atlixco, Pue.

Guía de Cálculo Diferencial

Cálculo diferencial

LÍMITES

El límite de una función se determina sustituyendo el valor de la variable (“x”); el resultado puede ser:

a) Determinado. (Sólo sustituimos el valor de x)

Ejemplos:

Ejercicio 2

1. Si f (x) = (x – 2)2, y g(x) = (1 – x)3, ¿Cuál es el valor de ?

a) 72 b) 0 c) – 1 d) 17 e) 1

2. Si f (x) = 2x2 – x –2, y g(x) = x3 – 2x2 + 1, ¿Cuál es el valor del ?

a) 3 b) 1 c) – 1 d) – 2 e) 5

3. Si y , cuál es el valor de

a) – 225 b) – 75 c) 75 d) 225 e) 15

4. Si f(x) = 4x2 + 3 y g(x)= – 3x, Cuál es el valor de

a) – 21 b) – 4 c) 4 d) 21 e) – 12

5. Cuál es el valor del , para f(x) = ex.

a) e b) 0 c) – 1 d) e2 e) 1

6. Cuál es el valor del

a) – 15 b) – 13 c) 1 d) 3 e) – 1

7. Encontrar el valor del

a) 14 b) 28 c) – 60 d) 90 e) – 150

8. Encontrar el valor del

a) 1 b) – 3/11 c) 25/7 d) 25/11 e) 7

b) indeterminado; éste es de dos tipos e .

Cuando se tiene . La recomendación es aplicar la regla de L`hôpital, la cual consiste en derivar el numerador y el denominador, tantas veces sea necesario, hasta no obtener la indeterminación .

, que es indeterminado, pero, aplicando la regla de L`hôpital

9. Calcula

a) ∞ b) 1/50 c) – 5 d) 1/10 e) 0/0

10. Cuál es el valor de

a) 0 b) 1 c)0/0 d) 2 e) 

11. Obtén el

a) 10 b)1/10 c) 0/0 d) No Existe e) 0

12. Obtén el

a) 1 b) – 4 c) 3 c) – 3 e) 0

13. Obtén el

a)  b) 10 c) 0 d) 4 e) – 2

14. El límite de cuando x tiende a 2 es:

a) 1/4 b) 4 c) 0 d) 1/12 e) no existe

15. El es:

a) 6 b) 4 c) 1 d) 0 e) 

16. Encontrar el valor del

a) –16 b) – 12 c) – 8 d) 0 e) 1

En el caso de , aquí, aplicaremos el criterio que se adecue al problema:

Cuando los grados de los polinomios son iguales:

Cuando el grado del polinomio del numerador es mayor:

Cuando el grado del polinomio del numerador es menor:

Ejercicios:

17. Calcula el

a) 1/7 b) – 1/7 c) 0 d)  e) 1

18. Calcula el

a) 5/2 b)5/3 c) – 1 d) 1/3 e) 

19. Encuentre el límite de

a) 2 b) – 3/2 c) 0 d)  e) – 2

Casos especiales:

- En el límite ,

20. ¿Cuál es el valor del ?

a) ∞ b) 9/18 c) 0 d) 1/2 e) 1/4

21. Determinar el valor del

a) 1/36 b) 1/6 c) 1 d)  e) 0

22. Encuentre el límite de

a) ∞ b) 2/4 c) 0 d) 1/2 e) 2

Derivadas algebraicas.

Ejercicio 3:

1. ¿Cuál es la derivada de g(x) = 5x -4?

a) – 20x -5 b) – 20x -3 c) 20x -5 d) 20x -3 e) – 20x 3

2. Al derivar la función se obtiene:

a) b) c) d) e)

3. ¿Cuál es la derivada de ?

a) b) c) d) e) 3x2

4. La derivada de r(x) = (x2 – 5) x, es igual a:

a) x2 + 2x – 5 b) 3x2 – 5 c) – x2 – 5 d) x2 – 5 e) 2x

5. ¿Cuál es la derivada de ?

a) b) c) d) e)

6. Deriva “y” con respecto a “x” si

a) – 3x -2 – 2 x -1 b) c) 3x -2 + 2 x -1 d) e) – 3x -4 – 2 x -2

7. La derivada con respecto a “x” de la función es:

a) b) c) d) e)

8. Deriva “y” con respecto a “x”, si: y(x) = 4 (5x – 2)2

a) 8(5x – 2) b) – 8(5x – 2) c) 200x – 80 d) 150 x – 60 e) 15x

9. Al derivar la función f(x) = (14x7 – 8x2 )4 se obtiene:

a) 1/4 (2x6 – 4x)3 b) 4(98x6 – 16x)3 c) 1/4 (14x7 – 8x2)3 (2x6 – 4x) d) 4(14x7 – 8x2)3 (98x6 – 16x) e) 1/5(2x6 – 4x)5

10. Deriva “y” con respecto a “x”, si

a) b) c) d) e)

11. Si y = 5t3 y t = 2x+3 obtén

a) 15t2 b) 30(2x + 3)2 c) 30t d) 15(2x + 3)2 e) 2

12. Al derivar la función f(x) = (10x2 – 6x) (15x3) se obtiene:

a) 125x4 – 60x3 b) 750x4 – 360x3 c) (20x – 6)(45x2) d) 45x2 +20x – 6 e) 5x2+5x – 6

13. Al derivar la función , se obtiene:

a) b) c) d) e)

14. La derivada de la función, es:

a) b) c)

d) e)

Derivadas trigonométricas.

15. La derivada de la función f (x) = cos3x, con respecto a “x”, es:

a) –3sen3x b) –3cos3x c) 3sec23x d) 3sen3x e) 3cos3x

16. Encuentra f(x) para f(x)=5 cos (3x2 – 5)

a) –5 cos (3x2 –5) b) -5 sen (6x) c) – 5 sen (3x2 – 5) c) –30x sen (3x2 – 5) e) – 5 sen (18x3 – 30)

17. Si y = cos t y t = 7x2 obtén

a) 14x b) – 14 x sen (7x2) c) sen (14x) d) – sen (7x2) e) – sen t

18. La derivada con respecto a x, de la función f (x) = tanx3 es:

a) sec x3 tanx3 b) 3x2sec2x3 c) x3secx3 tanx3 d) 3x2secx3 tanx3 e) sec23x2

19. Cuál es la derivada de la función f (x) = tan -3 x es:

a) – 3 tan -2 x b) – 3 tan -4 x c) (– 3 tan -2 x) + sec2 x d) (– 3 tan -4 x) sec2 x e) sec2 x

20. Encuentra f’ (x) para f (x) = 7 tan (5x2 – 1)

a) –7 sec2 (10 x3 –1) b) 70x sec2 (5x2 – 1) c) –7 sec2 (5x2 – 1) d) –7 cos (5x2 – 1) e) 7 sec2 (10x)

21. Encuentra h’ (x) para

a) b) c) d) e)

Derivadas logarítmicas.

22. Si h(x) = loge (2x)3, h´(x) es igual a:

a) b) c) 6 d) e) 6x

23. Si , su derivada es:

a) b) c) d) e)

24. Al derivar , se obtiene.

a) b) c) d) e) 10x + 8

25. Si , su derivada es:

a) b) c) 16x tan 8x2 d) 16x cot 8x2 e) sen8x2

13.5 Derivadas exponenciales.

26. La derivada de la función , con respecto a x, es:

a)

...