Cálculo integral Ejercicios propuestos Fase 6 – Discusión

Cálculo integral

Ejercicios propuestos Fase 6 – Discusión

Primera parte (ejercicio 2)

Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de  y  Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en Geogebra.[pic 1][pic 2]

Solución:

El área encerrada entre las dos funciones se encuentra mediante el cálculo de la integral definida:

[pic 3]

Definida por los puntos de corte de la función en [pic 4]

Para la primera integral, según la gráfica estas funciones se cortan en:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Evaluando:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Para la segunda integral, según la gráfica estas funciones se cortan en:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Evaluando:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Total del área:  unidades cuadradas[pic 17]

[pic 18]

Comprobando los resultados con Geogebra observamos que los resultados son muy similares exceptuando el signo negativo del área más grande, pero se sabe que las distancias al igual que las áreas no pueden ser negativas, en cambio se toma su valor absoluto, así los resultados de Geogebra estarían acordes a los resultados del ejercicio.

Segunda parte (ejercicio 6)

Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana determinada por las ecuaciones  y    alrededor del eje x entre  y  Elabore la gráfica en Geogebra y considere el volumen en unidades cúbicas.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Solución:

El volumen por sólido revolución viene dado por:

[pic 23]

Dado que la distancia entre la función y el eje x es cero entonces , por consiguiente la formula se reduce a:[pic 24]

[pic 25]

En la imagen se puede observar los tres puntos fundamentales que generan los límites de integración, ahora procedemos a plantear las integrales:

 [pic 26]

Desarrollamos los cuadrados y luego integramos:

 [pic 27]

[pic 28]

Evaluamos los límites:

[pic 29]

[pic 30]

Por tanto, tenemos que el volumen del solido es de 12.1 unidades cubicas.

[pic 31]

Tercera parte (ejercicio 10)

Si un resorte tiene una longitud natural de 18 cm y es suficiente una fuerza de 4 newtons para comprimirlo y reducirlo a una longitud de 16cm.

a. ¿Cuál es el valor de la constante k para este resorte?

b. Calcule el trabajo necesario para comprimirlo desde 16 cm a 12 cm.

 Solución:

...