Cálculo variables. Sucesiones

Sucesiones

Una sucesión de elementos es una función, en la que el dominio es el conjunto de números naturales y su rango es un conjunto no vacío

Donde a :  ℕ → R

                n  →an

Se utiliza la notación  an , en lugar de escribir a(n) como función, las sucesiones utilizan la notación { an }.A na  a lo que se denomina como termino n-esimo de la sucesión

Ejemplo:

Sea {an}= {5+3n}  los primeros 5  términos son:        

 a1=8, a2 =11, a3=14, a4=17, a5=20

Sea {an}= {6-(2+3n)} los primeros términos son:

a1=1, a2 =-5, a3=23, a4=-77, a5=-239, a6=-725, a7 =-2183…….

Límite de sucesiones 

Una sucesión an tiene como límite L, cuando sus términos se acercan al valor L, de otra forma en una sucesión numérica { an } para que L sea su límite, a todo numero positivo mayor que cero ε>0, debe de existir un numero entero natural N tal que si n≥N, entonces |an -L|< ε

No toda sucesión tiene un límite, las sucesiones que tienden a infinito se las conoce como divergente, cuando estas tienen un límite finito se conocen  como convergentes

Teorema:

Sea f: ℝ → ℝ, tal que an = f(n) y supongamos que , entonces [pic 1][pic 2]

Teorema

Sean {an} y {bn} sucesiones, si , entonces:[pic 3]

1. , donde c ∈ ℝ.[pic 4]
2. [pic 5]
3. , si bn ≠0 y M≠0[pic 6]

Teorema (teorema del sandwich)

Sean {an} y {bn} sucesiones de números reales convergente en L, si {cn} es una sucesión real tal que an ≤  cn ≤bn , para todo  n ∈ ℕ entonces [pic 7]

Teorema (teorema de valor absoluto)

Sea {an} una sucesión de números reales. Si  entonces [pic 8][pic 9]

Teorema

Sea {an} una sucesión de números reales y f: ℝ→ ℝ, continua. Si an converge en L entonces la sucesión bn = f(an) converge a f(L)

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