DINAMICA

MARCO TEORICO

VIBRACIONES

Por vibración mecánica se entiende el movimiento oscilatorio de una partícula, sólido o sistema de sólidos en torno a una posición de equilibrio. Nos limitaremos a un solo grado de libertad Vibraciones libres. Movimiento armónico simple Vibraciones amortiguadas

Vibraciones forzadas. Resonancia

Sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos al ser sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo, principalmente periódicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como consecuencia, presentan cambios de configuración que perturban su normal funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida útil de los mecanismos. Actualmente, el estudio y análisis de las vibraciones mecánicas ha adquirido gran importancia en la supervisión de los sistemas mecánicos, sobre todo de elementos de tipo rotativo. Independientemente de los planes de mantenimiento correctivo y preventivo, el plan de mantenimiento predictivo se basa, principalmente, en el estudio de las vibraciones mediante la instalación de sensores que permiten detectar vibraciones fuera de rango.

Clasificación de vibraciones

Vibración libre no amortiguada

[pic 2]

El tipo más simple de movimiento vibratorio es la vibración libre no amortiguada representada por el modelo de bloque y resorte que se ilustra en la figura a. El movimiento de vibración ocurre cuando el bloque se suelta desde una posición desplazada x de modo que el resorte tira del bloque. Éste alcanzará una velocidad de modo que dejará su posición de equilibrio cuando x=0, y siempre que la superficie de soporte esté lisa, el bloque oscilará de un lado a otro. La trayectoria del movimiento dependiente del tiempo del bloque puede determinarse con la ecuación de movimiento al bloque cuan-do está en la posición desplazada x. El diagrama de cuerpo libre demuestra en la figura b. La fuerza de restauración elástica F=kx siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio, mientras que se supone que la aceleración a actúe en la dirección del desplazamiento positivo. Como

[pic 3]

, tenemos:

[pic 4]

Donde la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque El movimiento descrito de esta manera se llama movimiento armónico simple y se expresa:

      (a)[pic 5]

La frecuencia natural es Wn

           (b)[pic 6]

la ecuación a es una ecuación diferencial lineal de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. Se puede demostrar, por medio de los métodos de ecuaciones diferenciales, que la solución general es:

       (c)[pic 7]

Donde A y B son constantes de integración y por medio de derivadas se puede determinar la aceleración y la velocidad del bloque

[pic 8]

La ecuación C también puede expresarse en función de movimiento senoidal simple para demostrar esto sea

  (d)[pic 9]

Y

 (e)[pic 10]

Donde C y  son constantes al igual que las anteriores A y B si se sustituye se obtiene[pic 11]

[pic 12]

Donde ɸ es el ángulo de fase

Entonces:

[pic 13]

Al elevar al cuadrado la ecuación d y e y sumarlas obtenemos

[pic 14]

Podemos obtener el ángulo de fase dividiendo la ecuación d y e

[pic 15]

Vibración forzada no amortiguada

[pic 16]

Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los tipos más importantes de movimiento vibratorio en el campo de la ingeniería. Sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de máquinas y estructuras

En la figura a se constituye un modelo para representar características vibratorias de un sistema sometido a una fuerza periódica la cual se determina así

[pic 17]

Donde  es la amplitud y  es frecuencia forzada al aplicar la ecuación de movimiento tenemos[pic 18][pic 19]

[pic 20]

O

[pic 21]

Que se denomina una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea la solución general de esta consta de una solución complementaria y la ecuación que define a esta es

[pic 22]

Como el movimiento es periódico la solución particular donde x es constante quedaría de la siguiente manera

[pic 23]

Al sustituir, factorizar y resolver para X obtenemos

[pic 24]

La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones seno de frecuencias diferentes

[pic 25]

La solución complementaria Xc define la vibración libre la cual depende de la frecuencia natural  y las constantes  C y ɸ, la solución particular  Xp describe la vibración forzada del bloque provocada por la fuerza aplicada F=  la vibración libre se amortiguara al paso del tiempo por esta razón la vibración libre se conoce como transitoria y la vibración forzada como estado continuo puesto que esta permanece .[pic 26][pic 27]

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