DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

(CURSO VIRTUAL)

Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar algunos valores entre 2 números dados. Por ejemplo: el # de puntos que muestra la cara superior de un dado después de un lanzamiento; el # de clientes que llegan en una hora a un banco.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula, o cualquier otro medio que se usa para especificar todos los valores de la variable, junto con sus respectivas probabilidades.

Se deben cumplir 2 condiciones:

1. P(Xi ≥ 0)
2. ∑( Xi) = 1

La función de distribución acumulativa, que se denota como Fx(x) = P(X ≤ x).

En el siguiente ejemplo vamos a ver como se construye una distribución de probabilidad.

EJEMPLO:

Se lanza una moneda 3 veces y se define una variable aleatoria X como el número de caras en los 3 lanzamientos. Construir la distribución de probabilidad de la variable X .El espacio muestral en el lanzamiento de una moneda 3 veces es el siguiente:

S = {ccc, ccs, scc, csc, ssc, scs, css, sss}.

Los posibles valores de X con sus respectivas probabilidades son:

     X :         0             1             2             3

P(X= x):                                            [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

La anterior tabla es una distribución de probabilidad porque están los posibles valores de X con sus respectivas probabilidades y se cumplen las 2 condiciones.

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORI DISCRETA

Si X es una variable aleatoria discreta que asume los valores X1, X2,….., Xn; con probabilidades respectivas p(X1), p(X2), ……  , p(Xn) . El valor esperado de X se denota y define de la siguiente manera:

E (X) = ∑ Xi P(Xi)

Vamos a calcular el valor esperado para el ejemplo anterior:

E (X) = (0*1/8) + (1*3/8) +( 2*3/8 ) + (3*1/8) = 1,5 y se interpreta de la siguiente manera: el número esperado de caras en 3 lanzamientos de una moneda es 1,5.

Propiedades del valor esperado:

1. El valor esperado de una constante es igual a la constante. E(C) = C.
2. El valor esperado de una constante por una variable es igual a la constante por el valor esperado de la variable. E(CX) = C*E(X)
3. El valor esperado de una constante por una variable más una variable es igual a la constante más el valor esperado de la variable. E(C+X) = C+ E(X).
4. El valor esperado de la suma de 2 variables es igual a la suma de los valores esperados de dichas variables. E(X+Y) = E(X) + E(Y).

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Si X es una variable aleatoria discreta que asume valores X1, X2, …, Xn con probabilidades respectivas P1, P2, …, Pn; la varianza de X se denota y define de la siguiente manera:

V(X) = ∑ (Xi – E(X))²* P(Xi)

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